《自-2012高考数学_难点14__数列综合应用问题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《自-2012高考数学_难点14__数列综合应用问题（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、高中数学难点4 数列综合应用问题纵观近几年的高考,在解答题中,有关数列的试题出现的频率较高,不仅可与函数、方程、不等式、复数相联系，而且还与三角、立体几何密切相关；数列作为特殊的函数,在实际问题中有着广泛的应用，如增长率,减薄率，银行信贷,浓度匹配,养老保险,圆钢堆垒等问题.这就要求同学们除熟练运用有关概念式外，还要善于观察题设的特征，联想有关数学知识和方法，迅速确定解题的方向，以提高解数列题的速度.难点磁场(）已知二次函数y=f()在x=处取得最小值 (t0)，（)=0.(1)求=f()的表达式;()若任意实数都满足等式f（x)（x)+anxbn=xg()为多项式，nN*),试用t表示和bn
2、;(3）设圆的方程为(-a)2+(y)2rn2，圆Cn与Cn+外切（n=1,2,3，）；是各项都是正数的等比数列，记Sn为前n个圆的面积之和，求rn、Sn案例探究例1从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划,本年度投入80万元,以后每年投入将比上年减少，本年度当地旅游业收入估计为40万元，由于该项建设对旅游业的促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比上年增加(1）设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出an,bn的表达式;(2)至少经过几年,旅游业的总收入才能超过总投入？命题意图：本题主要考查建立函数关系式、数列求和、不
3、等式等基础知识;考查综合运用数学知识解决实际问题的能力,本题有很强的区分度，属于应用题型,正是近几年高考的热点和重点题型,属级题目知识依托：本题以函数思想为指导,以数列知识为工具,涉及函数建模、数列求和、不等式的解法等知识点错解分析:（1）问an、n实际上是两个数列的前n项和,易与“通项”混淆；(2)问是既解一元二次不等式又解指数不等式，易出现偏差.技巧与方法：正确审题、深刻挖掘数量关系，建立数量模型是本题的灵魂,()问中指数不等式采用了换元法，是解不等式常用的技巧.解：(1）第1年投入为80万元,第2年投入为80（-)万元，第n年投入为800（-)n1万元,所以，n年内的总投入为an=00+
4、800(1-）+80(-)n-180(1-)k1=40001-()n第年旅游业收入为00万元,第年旅游业收入为40(1+),，第n年旅游业收入400(1+)n-1万元.所以,n年内的旅游业总收入为b=40+40(1+)+40()k-1=400()k1.=160()n-1（2)设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入,由此b-an0,即:10(）n1-000-()0，令x=(）,代入上式得：5x2-720解此不等式，得x,或x1(舍去）.即(）n,由此得n5至少经过年，旅游业的总收入才能超过总投入.例已知S=+,（nN*)设()=S2n+1-Sn1，试确定实数m的取值范围,使得对于一切大于1的
5、自然数n，不等式：f(n)logm(1)-og(m-1)m恒成立命题意图：本题主要考查应用函数思想解决不等式、数列等问题，需较强的综合分析问题、解决问题的能力.属级题目.知识依托:本题把函数、不等式恒成立等问题组合在一起，构思巧妙错解分析:本题学生很容易求f()的和,但由于无法求和,故对不等式难以处理技巧与方法：解决本题的关键是把f(n)（N*）看作是n的函数，此时不等式的恒成立就转化为:函数f(n)的最小值大于log(m-1)2log(m-1)m2.解：S=+.(nN)(n+1)(n)f（n)是关于n的增函数f(n) n=f（)=要使一切大于1的自然数，不等式f(n）logm(m1)2o(m
6、-1）2恒成立只要lgm(m-1)2-l（m)m成立即可由得m且m2此时设og(1)=t 则t0于是解得0t1 由此得0lom(m)20)的等比数列，设b=a2n-1+a2n(n=,).(）求出使不等式ann1n1an+2an+2an+(N*)成立的q的取值范围;(2)求bn和，其中Snb1+b2+bn;(3）设=19.21,=,求数列的最大项和最小项的值.()某公司全年的利润为b元，其中一部分作为奖金发给n位职工,奖金分配方案如下：首先将职工按工作业绩（工作业绩均不相同）从大到小,由1到n排序,第1位职工得奖金元,然后再将余额除以n发给第位职工,按此方法将奖金逐一发给每位职工，并将最后剩余部
7、分作为公司发展基金(1)设ak(1kn)为第k位职工所得奖金金额，试求a2，a3,并用、n和b表示k(不必证明);(2)证明akak+1(k=1,2,n1)，并解释此不等式关于分配原则的实际意义；（3）发展基金与n和b有关，记为Pn(b)，对常数,当n变化时，求Pn().7.()据有关资料,95年我国工业废弃垃圾达到7410吨，占地52.4平方公里，若环保部门每年回收或处理1吨旧物资，则相当于处理和减少吨工业废弃垃圾,并可节约开采各种矿石0吨，设环保部门1996年回收1万吨废旧物资,计划以后每年递增20%的回收量,试问:()200年回收废旧物资多少吨?(2)从19年至201年可节约开采矿石多少
8、吨(精确到万吨)?(3)从996年至201年可节约多少平方公里土地？.()已知点的序列An(n,)，nN,其中x1=0,x2=(a0),A3是线段A1A2的中点,是线段A23的中点，,An是线段An2An的中点，.（1）写出xn与xn1、x2之间关系式(）;(2)设=xn1-n,计算a1，2,a3，由此推测数列an的通项公式,并加以证明;()求x.参考答案难点磁场解:（1）设f(x)=(x)2-,由f(）=0得=1.f（x）x2（t2)+t+1.(2)将(x）(1）x(t1)代入已知得:(x1）x（t+1)g(x）+nx+bn=xn+1,上式对任意的R都成立，取x=1和x+1分别代入上式得:且
9、t,解得an（t+1)n+1-，b=1(t1n）（3)由于圆的方程为(x-a)+(ybn)=r2，又由(2)知an+bn=1，故圆Cn的圆心On在直线+y=1上,又圆与圆Cn+相切,故有n+r=an1an|（t+1）n+1设r的公比为,则得=1，代入得rn=Sn=（12+r2+rn2)=（t+1)2n歼灭难点训练一、.解析:当a=时y=n(+1）2（2+1）x+1由x1-x2=,得n=，d1+d2+dn答案：A二、2解析:由,x1，2,4依次成等差数列得：21=x2,x1x2=5解得x1=2,x2.又由1,y,y2,8依次成等比数列，得y12=2，1y2=8,解得y1=2,y2=4,P(2,2
10、),P2(,4).(3，4)答案：3.解析:第一次容器中有纯酒精ab即(-）升,第二次有纯酒精a（1)-,即()2升，故第n次有纯酒精a(1)n升.答案:(-)n4解析:从20年到20年每年的国内生产总值构成以9533为首项,以.%为公比的等比数列，a5953(3%)412000(亿元）答案：2000三、5.解:(1)由题意得r-+rqnrqn+.由题设r0,q0,故从上式可得:-q10，解得,因q0,故0q;（2).1=1+0，所以bn是首项为1r,公比为q的等比数列，从而bn=(1+r)qn-.当q=1时,Snn(1+r),从上式可知,当20.20,即n1(）时,Cn随的增大而减小，故1CnC=1+=25当n-20.2CnC20=1+=综合两式知,对任意的自然数有C2CnC1,故Cn的最大项C21=2.25，最小项C2-4.解:(1)第1位职工的奖金a,第2位职工的奖金a（1-)b,第3位职工的奖金a3=(1)2，第位职工的奖金ak=(1-)k-b;()aka+1=（-）b，此奖金分配方案体现了“按劳分配”或“不吃大锅饭”的原则(3)设fk（)表示奖金发给第位职工后所剩余数,则f1(b)=（1-),f2(b)=()2b，fk(b)=（-)得(b）=n()=(1-)，
