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1、河南省20202021学年下期期中试卷高二理科数学(时间:120分钟,满分:150分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1已知,则()ABC2D2用反证法证明“若a,bR,则a,b不全为0”时,假设正确的是()Aa,b中只有一个为0Ba,b至少一个不为0Ca,b至少有一个为0Da,b全为03下列运算正确的个数是()A1 B2 C3D44用数学归纳法证明时,第二步应假设()A时, B时,C时,D时,5记为等差数列的前n项和,若,.则数列的通项公式()A.B.C.D.6若直线和曲线相切,则实数的值为()A.B.2C.1D.7函
2、数的导函数为,则函数的大致图象为()8. 设点P是函数图象上的任意一点,点P处切线的倾斜角为,则角的取值范围是()A. B.C. D.9某校开设了素描、摄影、剪纸、书法四门选修课,要求每位同学都要选择其中的两门课程已知甲同学选了素描,乙与甲没有相同的课程,丙与甲恰有一门课程相同,丁与丙没有相同课程则以下说法错误的是()A丙有可能没有选素描B丁有可能没有选素描C乙丁可能两门课都相同D这四个人里恰有2个人选素描10已知定义在上的函数,是的导函数,满足,且,则的解集是()ABCD11已知函数,若,则的最小值为()ABCD12已知,则的大小关系是()ABCD二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分
3、20分13已知函数,则.14已知各项均为正数的等比数列中,是它的前项和,若,且,则.15如图,有一块半径为2的半圆形钢板,计划裁剪成等腰梯形的形状,它的下底是圆O的直径,上底C、D的端点在圆周上,则所裁剪出的等腰梯形面积最大值为.16已知函数,若关于x的方程恰好有4个不相等的实根,则实数的取值范围为.三.解答题:共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第1721题为必考题,每个试题考生都必须作答. 第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17(本小题满分12分)在中,内角所对的边分别为,,若()求角的大小;()若,点在边上,且,求的长度18(本小题满分12分
4、)已知函数()当时,求的极值;()若,求的单调区间19(本小题满分12分)如图,在四棱锥中,底面为边长为2的正方形,为的中点()求证:;()若,求平面CDM与平面BDM所成锐二面角的余弦值.20.(本小题满分12分)已知椭圆C:的离心率为,F1,F2分别是椭圆的左,右焦点,P是椭圆C上一点,且PF1F2的周长是6()求椭圆C的方程;()设斜率为的直线交x轴于T点,交曲线C于A,B两点,是否存在使得为定值,若存在,求出的值;若不存在,请说明理由21(本小题满分12分)已知函数,()设,若函数在区间,上是减函数,求实数的取值范围;()若函数区间上的最小值为1,求实数的值(二)选考题:共10分. 请
5、考生在第22、23题中任选一题做答.如果多做,则按所做的第一题计分.22. 选修4-4:坐标系与参数方程选讲(10分)在平面直角坐标xOy中,已知曲线的参数方程为,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为()写出曲线的普通方程和直线l的直角坐标方程;()若直线l上的两个动点M,N满足,点P在曲线上,以M,N,P为顶点构造平行四边形MNPQ,求平行四边形MNPQ面积的最大值.23.选修45:不等式选讲(10分)已知不等式的解集为()求集合;()已知为集合中的最小正整数,若均为正数,且,求证: 理科数学参考答案1、 选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分,
6、在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.题号123456789101112选项DDACBCBDCADB二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分13. 14. 31 15. 16. 三.解答题:共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17. 解:()由正弦定理可化为,即,所以,因为,所以,即,4分因为为三角形内角,所以,所以;所以;6分()由余弦定理得,故,8分因为在边上,且,所以,又,10分所以,所以12分18. 解:()因为当时,所以,由得或,2分当变化时,的变化情况列表如下:1200单调递增单调递减单调递增所以当时,取极大值;当时,取极小值6分(),7分当时
7、,当,单调递增,当,单调递减,当,单调递增当时,在恒成立,所以在上单调递增;当时,当,单调递增,当,单调递减,当,单调递增,11分综上所述,当时,单调递增区间为,单调递减区间为;当时,单调增区间为,无减区间;当时,单调递增区间为,单调递减区间为12分19. 解:()连接AC交BD于E,连接EM,则E为AC中点,EM为APC的中位线,EMAP,又,.4分(),所以,取BC中点O,AD中点F,连接PO,OF,则,又因为,所以,所以两两垂直;6分如图,以O为原点,分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则,所以,8分设平面BDM的法向量为,则,即,取;设平面CDM的法向量为,则,即,取,10分所以
8、,所以平面CDM与平面BDM所成锐二面角的余弦值为.12分20. 解:()由题意知;,解得,所以椭圆C的方程为.4分()假设存在,则,设,设直线,化简得,6分为定值,10分所以,所以,所以.12分21. 解:(),则,因为在,上为减函数,所以在,上恒成立,即对,恒成立,所以对,恒成立,因为,在,上单调递减,则函数的最小值为,所以;经检验可得满足条件;所以实数的取值范围为.5分(),则,又在上恒成立,则在上单调递增,区间上的最小值为1,存在唯一的,使得,即,所以当时,单调递减,当,时,单调递增,则的最小值为,由题意可知,9分由得,又因为关于单调递减,且,所以,带入可得,12分22. 解:()曲线的参数方程为,消去参数,可得曲线的标准方程为2分直线l的极坐标方程为,化简可得,5分()设,则点P到直线的距离,所以,当且仅当,即取到最大值,所以平行四边形MNPQ面积的最大值10分23.解()等价于或或,解得或或,则;5分()证明:由()可得,因为均为正数,由柯西不等式可得当且仅当,即时等号成立.10分