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1、第10届华罗庚金杯少年数学邀请赛口试试题题1(共答题1)粤10 在上面的算式中,粤、惠、州、华、罗、庚、金、杯、赛代表19这九个不同的数字。请给出一种填数法,使得等式成立。 题2(群答题1) 跳绳的时候,可以认为绳子的中间点在同一个圆周上运动。如果小光用05秒跳一个“单摇”,用0.6秒跳一个“双摇”,则跳“单摇”时绳中间点的速度和跳“双摇”时绳中间点的速度之比是多少?(说明:“单摇”是脚离地面一次,绳子转一圈;“双摇”是脚离地面一次,绳子转两圈。) 题3(必答题A1)如图,阴影正方形的顶点分别是大正方形EFGH各边的中点,分别以大正方形各边的一半为直径向外作半圆,再分别以阴影正方形的各边为直径
2、向外作半圆,形成8个“月牙形”。这8个“月牙形”的总面积为5平方厘米,问大正方形EFGH的面积是多少平方厘米? 题4(必答题A2) 两个自然数a,b的最小公倍数等于50,问ab有多少种可能的数值? 题5(必答题A3) 如图所示,三角形ABC中,点X,Y,Z分别在线段AZ,BX,CY上,且YZ=2ZC,ZX3XA,XY4YB,三角形XYZ的面积等于24,求三角形ABC的面积。 题6(必答题A4) 你能在33的方格表(如图)中填入彼此不同的9个自然数(每个格子里只填一个数),使得每行、每列及两条对角线上三个数的乘积都等于2005吗?若能,请填出一例,若不能,请说明理由。 题7(必答题A5)已知长方
3、形的长为8,宽为4,将长方形沿一条对角线折起压平,如图所示。求重叠部分(灰色三角形)的面积。题8(必答题A6) 开始有三个数为1,1,1,每次操作把其中的一个数换成其他两数的和。问经过10次操作后所得的三个数中,最大数的最大可能值是多少? 题9(群答题2) 中国古代的“黑火药”配制中硝酸钾、硫磺、木炭的比例为1523。今有木炭50千克,要配制“黑火药”1000千克,还需要木炭多少千克? 题10(群答题3)图中的大正方形ABCD的面积是18平方厘米,灰色正方形MNPQ的边MN在对角线BD上,顶点P在边BC上,Q在边CD上。问灰色正方形MNPQ的面积是多少平方厘米? 题11(共答题2)将25块边长
4、为1的正方体积木堆放成一个几何体,如图所示,看谁堆放的几何体的表面积最小?最小的表面积是多少?(说明:这是一道现场动手操作题,每队的4名选手,既要动手,又要动脑,而且要有很好的合作精神。参赛队如果都没得到“最小表面积是54”的堆放法,就以堆放表面积最小的队为胜者。因此,本题以“看谁堆放的几何体的表面积最小?最小的表面积是多少?”来设问) 题12(必答题B1)下图是中国古代的“杨辉三角形”,问:写在图中“网点”处所有数的和是多少? 题13(必答题B2)一张面积为717平方厘米的平行四边形纸片WXYZ放在另一张平行四边形纸片EFGH上面,如上页右图所示,得出A,C,B,D四个交点,并且ABEF,C
5、DWX。问纸片EFGH的面积是多少平方厘米?说明理由。 题14;(必答题B3) 小于10且分母为36的最简分数共有多少个? 题15(必答题B4)如图所示,如果长方形ABCD的面积是56平方厘米,那么四边形MNPQ的面积是多少平方厘米? 题16(必答题B5) 你能用写有数字的卡片,排成两个自然数,使得其中的一个数是另一个数的2倍吗?如果能,请排出一例,如果不能,请说明理由。 题17(必答题B6)从下图a那样的等边三角形开始,将三角形的每条边三等分,然后以中间的线段为边向外作新的等边三角形,如图b,得到一个“雪花六角形”。接着将“雪花六角形”的12条边的每一条三等分,仍以中间的线段为边向外作新的等
6、边三角形,如图c,得到一个新的“雪花形”。问:图c的面积与图a的面积的比是多少? 题18(群答题4) 构成自然数。的所有数字互不相同,这些数字的乘积等于360。求n的最大值。 题19(群答题5) 鹅城西湖落天鹅,一湖一对两鹅多,一湖三只三只少,共落天鹅有几多? (说明:惠州别称“鹅城”,城中的西湖是著名风景区,由丰、鳄、平、菱、南5个湖区组成。题意是说:一个湖区落一对天鹅多两只天鹅,一个湖区落三只天鹅少三只天鹅,问共落有多少只天鹅?) 题20(共答题3)编号为19的九位小朋友,胸前都别着一个汉字,依次为:惠、州、西、湖、丰、鳄、平、菱、南,如图所示站在五个圆的标志中,且每个圆中的小朋友的编号的
7、和均为13,请指出别着“丰”字的小朋友的编号最大是几? 题21(抢答题1) 13位同学参加某项赈灾捐款,每人的捐款数均为整数元。马小虎很快计算出他们的平均捐款数为6496元,可惜百分位的数字有误。问:这13位同学的捐款总数是多少元? 题22(抢答题2)右图中的两个滑块A,B由一个连杆连接,分别可以在垂直和水平的滑道上滑动。开始时,滑块A距O点20厘米,滑块B距O点15厘米。问;当滑块A向下滑到O点时,滑块B滑动了多少厘米? 题23(抢答题3)算盘上一左一右列出了两个十进位的数,左边的是个7位数,右边的是个4位数,如图所示,问左边的数除以右边的数的商是多少? 题24(抢答题4)如图所示,圆周上的
8、十个点将圆周十等分,连接间隔两个点的等分点,共得出圆的十条弦,它们彼此相交,构成各种几何图形。请回答:图中共有多少个平行四边形? 题25(抢答题5) 圆上的100个点将该圆等分为100段等弧,随意将其中的一些点染成红点,要保证至少有4个红点是一个正方形的4个顶点,问:你至少要染红多少个点? 题26(抢答题6)用数字1,2,3,4,5,6填满一个66的方格表,如右图所示,每个小方格只填其中的一个数字。将每个2X 2正方格内的四个数字的和称为这个22正方格的“标示数”。问能否给出一种填法,使任意两个“标示数”均不相同?如果能,请举出一例;如果不能,请说明理由。 题27(共答题4(操作) 一个考古发
9、现的正多边形残片,如图所示:只用一副学生三角板和一支铅笔为工具,请你判定这个正多边形的边数。(说明:所给正多边形残片中的EABZFBA165,需要选手动手去量) 题28(群答题6)下面的两条横幅: 中华少年 杯赛联谊 切磋勾股 炎黄子孙 惠州弘志 振兴中华每个字代表一个小于25的非零自然数,不同的字代表不同的数,相同的字代表相同的数。已知这些字代表的34个数的平均值是12丧。问“中华”两个字代表的自然数之和的最大值是多少?参考答案1答案不唯一,写出一个即可。如: 910,910,910, 910,710, 610, 610均为解答。2答案:3:5分析:设绳中间点运动的圆周的半径为r,则绳子转一
10、圈绳中间点运动了2r的距离,“单摇”和“双摇”时的速度分别为和,所以速度之比为 :3:53答案:10 分析:如图所示,连接AB和CD相交于O,容易由勾股定理和半圆面积公式得到三角形,ACH的面积,即得到三角形AOC的面积等于AH,HC上两个“月牙形”的面积之和。因此,这8个“月牙形”的总面积等于正方形ACBD的面积。 由于这8个“月牙形”的总面积为5平方厘米,而正方形EFGH的面积为正方形ACBD的面积的2倍,所以正方形EFGH的面积等于10平方厘米。 4答案:8 分析:因为:50=25,a,b是50的约数,它们只能取1,2,5,10,25,50。不妨设ab,当取a50时,b1,2,5,10,
11、25,50;当取a25时,b2,10 所以,ab共有8种可能的不同数值。 两个自然数a,b的最小公倍数等于50,当ab时,ab取不同数值可列表如下: 5答案:59 分析:连接AY,CX,BZ,如图所示,由三角形XYZ的面积等于24,YZ2ZC,三角形XZC的面积等于12。 又ZX3XA,三角形XZC的面积等于12,所以三角形AXC的面积等于4。三角形AYX的面积等于8。注意到XY4YB,三角形ABY的面积等于2。三角形ZBY的面积等于6,三角形CBZ的面积等于3。 所以三角形ABC的面积24124826359。 6答案;不能 分析:如果能填,则填入的彼此不同的9个自然数将是2005的9个彼此不
12、同的约数,然而2005的彼此不同的正约数只有1,5,401,2005这4个,故不能。 7答案:10分析:如图所示,因为EBDEDB,显然 BEDE,AECE设BEDEx,则 AECE8x由勾股定理得 (8一z)4=x解之得x5所以,SBECD54108. 答案:144分析:每次把三个数从小到大排序,再把前面的最小的数换成后面两个数的和,结果为1,1,11,1,21,2,3,2,3,5)3,5,85,8,13 经观察,最大的数构成一个斐波那契(Fibonacci)数列,开始的两个数是1,2,从第三项开始,每个数是前面两个数的和。因此为 1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144 经
13、过lO次操作后,该数列中第11个数是144,即最大数的最大可能值是144。 9答案:100 分析:由硝酸钾,硫磺,木炭的比例为15:2:3求得,木炭所占的比例为,因此,配制1000千克的“黑火药”需要木炭1000150(千克),今有木炭50千克,故还需要木炭150千克50千克100千克。 10答案:4 分析:连接AC交BD于O,作大正方形ABCD的外接正方形EFGH,如图所示,则正方形EFGH的面积是36平方厘米。所以,DBAC6厘米。易知DMMQMNNB2厘米所以灰色正方形的面积是4平方厘米。11答案:54分析:25块边长为1的正方体积木堆放成一个几何体,当小积木自相重合的面最多时表面积最小
14、。设想27块边长为1的正方体积木,其表面积为54(图a)。 现在要去掉2块小积木成为25块,其总表面积不会减少。要使得总表面积最小,发现在一个角处去掉相邻的两块小积木时(图b),或在两个角上各去掉一块小积木时(图C),总表面积不变,与边长为3的立方体的表面积相等,为33654。所以堆放25块小积木的最小表面积是54。 12答案:127 分析:这是一道找规律的速算题。 第1行的数是1;第2行的2个数的和是2;第3行的3个数的和是4;第4行的4个数的和是8;第5行的5个数的和是16;第6行的6个数的和是32;第7行的7个数的和是64。求和:1248163264127。 13答案:7.17 分析:连接AC,CB,BD,DA,如图所示,因为ABEFGH,所以ABC的面积是平行四边形AEFB面积的一半,ABD的面积是平行四边形的AHGB面积的一半,因此四边形ACBD的面积是平行四边形EFGH面积的一半。同理可证,四边形ACBD的面积也是平行四边形WXYZ面积的一半。因此,平行四边形E