《2021年春福建省永春县第二中学九年级数学专题复习二次函数知识点汇总》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021年春福建省永春县第二中学九年级数学专题复习二次函数知识点汇总（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、- 1 - 1.定义：一般地，如果，那么y叫做x的二次函数. 2.二次函数 2 axy 的性质 (1)抛物线 2 axy ）（0a的顶点是，对称轴是.(2)函数 2 axy 的图像与a的符号关系. 当0a时抛物线开口顶点为其最；当0a时抛物线开口顶点为其最 3.二次函数cbxaxy 2 的图像是对称轴平行于(包括重合)y轴的抛物线. 4.二次函数 cbxaxy 2 用配方法可化成： khxay 2 的形式，其中 a bac k a b h 4 4 2 2 ， . 5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： 2 axy ；kaxy 2 ；2hxay；khxay 2 ；cbxaxy 2 . 6
2、.抛物线的三要素： a决定抛物线的： 当0a时，开口；当0a时，开口；a相等，抛物线的开口大小、形状相同. 平行于y轴(或重合)的直线记作hx .特别地，y轴记作直线. 7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口 大小完全相同，只是顶点的位置不同. 8.求抛物线的顶点、对称轴的方法 (1)公式法： a bac a b xacbxaxy 4 4 2 2 2 2 ，顶点是，对称轴是直 线. (2)配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为khxay 2 的形式，得到顶点为，对称轴 是. (3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，
3、所以对称轴的连线的垂直平分线是 抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. 用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失 9.抛物线cbxaxy 2 中，cba,的作用 (1)a决定及，这与 2 axy 中的a完全一样. (2)b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线cbxaxy 2 的对称轴是直线 a b x 2 ,故： 0b时，对称轴为；0 a b (即a、b同号)时,对称轴在y轴； 永春二中九年级数学二次函数知识点汇总 - 2 - 0 a b (即a、b异号)时,对称轴在y轴. (3)c的大小决定抛物线cbxaxy 2 与y轴交点的位置. 当0 x时，cy ，抛
4、物线cbxaxy 2 与y轴有且只有一个交点： 0c，抛物线经过; 0c,与y轴交于；0c,与y轴交于. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则 0 a b . 10.几种特殊的二次函数的图像特征如下： 函数解析式开口方向对称轴顶点坐标 2 axy 当0a时 开口向上 当0a时 开口向下 kaxy 2 2hxay khxay 2 cbxaxy 2 11.用待定系数法求二次函数的解析式 (1)一般式：cbxaxy 2 .已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式. (2)顶点式：khxay 2 .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. (3)交点式：已知图像
5、与x轴的交点坐标 1 x、 2 x，通常选用交点式： 21 xxxxay. 12.直线与抛物线的交点 (1)y轴与抛物线cbxaxy 2 得交点为(c,0) (2)与y轴平行的直线hx 与抛物线cbxaxy 2 有且只有一个交点(h,cbhah 2 ). (3)抛物线与x轴的交点 二次函数cbxaxy 2 的图像与x轴的两个交点的横坐标 1 x、 2 x，是对应一元二次方程 0 2 cbxax的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： 有两个交点0抛物线与x轴相交； 有一个交点(顶点在x轴上)0抛物线与x轴相切； 没有交点0抛物线与x轴相离. (4)平行于x
6、轴的直线与抛物线的交点 同(3)一样可能有 0 个交点、1 个交点、2 个交点.当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标 为k，则横坐标是kcbxax 2 的两个实数根. (5)一次函数0knkxy的图像l与二次函数0 2 acbxaxy的图像G的交点，由方程组 cbxaxy nkxy 2 的解的数目来确定： 方程组有两组不同的解时l与G有两个交点; 方程组只有一组解时l与G只有一个交点；方程组无解时l与G没有交点. (6)抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线cbxaxy 2 与x轴两交点为00 21 ，xBxA，由于 1 x、 2 x是方程0 2 cbxax的两个根，故 a c x
7、x a b xx 2121 , - 3 - aa acb a c a b xxxxxxxxAB 44 4 2 2 21 2 21 2 2121 13二次函数与一元二次方程的关系： (1)一元二次方程cbxaxy 2 就是二次函数cbxaxy 2 当函数 y 的值为 0 时的情况 (2)二次函数cbxaxy 2 的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点； 当二次函数cbxaxy 2 的图象与x轴有交点时，交点的横坐标就是当0y时自变量x的值， 即一元二次方程0 2 cbxax的根 (3)当二次函数cbxaxy 2 的图象与x轴有两个交点时，则一元二次方程cbxaxy 2 有
8、两个不 相等的实数根；当二次函数cbxaxy 2 的图象与x轴有一个交点时，则一元二次方程 0 2 cbxax有两个相等的实数根；当二次函数cbxaxy 2 的图象与x轴没有交点时，则一 元二次方程0 2 cbxax没有实数根 14.二次函数的应用： (1)二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大(小)值； (2)二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系； 运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值 15.解决实际问题时的基本思路：(1)理解问题；(2)分析问题中的变量和常量；(3)用函数表达式表示出它 们之间的关系；(4)利用二
9、次函数的有关性质进行求解；(5)检验结果的合理性，对问题加以拓展等 二次函数练习题 一选择题 1、二次函数 y(x1 )2+2 的最小值是（ ） A.2B.2C.1D.1 2、已知抛物线的解析式为 y(x2) 21，则抛物线的顶点坐标是（ ） A.(2,1)B.(2，1)C.(2，1)D.(1，2) 3、函数baxy与cbxaxy 2 在同一直角坐标系内的图象大致是 （） 4、在一定条件下，若物体运动的路程 s（米）与时间 t（秒）的关系式为 s5t 2+2t，则当 t 4 时，该 物体所经过的路程为（） A.28 米B.48 米C.68 米D.88 米 5、已知二次函数 yax 2+bx+c
10、(a0)的图象如图 2 所示，给出以下结论： 1a+b+c0； ab+c0； b+2a0； abc0 .其中所有正确结论 的序号是（） A. B. C. D. ? x ? -1 ? 1 ? y ? O 图 2 图 3 - 4 - x O-2 y 14 题 -6 6、二次函数 yax 2+bx+c 的图象如图 3 所示，若 M4a+2b+c，Nab+c，P4a+2b，则（ ） A.M0，N0，P0B. M0，N0，P0C. M0，N0，P0D. M0，N0，P0 7、如果反比例函数 x k y 的图象如图 4 所示，那么二次函数 ykx 2k2x1 的图象大致为（ ） 8、二次函数 yx 2的图
11、象向上平移 2 个单位，得到新的图象的二次函数表达式是（ ） A. yx 22 B. y(x2) 2 C. yx 2+2 D. y(x+2) 2 9已知 a1，点（a1，y1） ， （a，y2） ， （a+1，y3）都在函数 y=x 2的图象上，则（ ） Ay1y2y3By1y3y2Cy3y2y1Dy2y10) Dy= -x 2(x0) 11、 把抛物线 y=x 2+bx+c 的图象向右平移 3 个单位， 再向下平移 2 个单位， 所得图象的解析式是 y=x2-3x+5， 则有（） A，3b，7cB，9b，15cC，3b，3cD，9b，21c 12、已知函数 y=ax 2+bx+c 的图像如图
12、所示，则下列关系成立且能最精确表述的是( ) A01 2 b a B02 2 b a C12 2 b a D1 2 b a 13. 已知二次函数 y=ax 2+bx+c （a0） 的图象如图所示， 给出以下结论：a+b+c0； ab+c0； b+2a0，其中所有正确结论的序号是（） ABCD 14.已知抛物线)0( 2 acbxaxy在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是 （） A.0acB.0cbaC.04 2 acbD.ab8 15已知二次函数mxy 2 12的图象上有三个点,坐标分别为 1 , 2 yA、 2 , 3 yB、 3 , 4 yC ,则 321 ,yyy的大
13、小关系是() A. 321 yyyB. 312 yyyC. 213 yyyD. 123 yyy y xO 图 4 y xO A y xO B y xO C y xO D 13 题图 ? 0 ? 2 ? x ? y 12 题 - 5 - 二解答题 1.已知抛物线 2 yaxbxc过三点（1，1） 、 （0，2） 、 （1，l） （1）求这条抛物线所对应的二次函数的表达式； （2）写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标； （3）这个函数有最大值还是最小值？ 这个值是多少？ 2. 当 x=4 时，函数 2 yaxbxc的最小值为8，抛物线过点（6，0） 求： （1）函数的表达式； （2）顶点坐标和对称轴
14、； （3）画出函数图象 （4）x 取什么值时，y 随 x 的增大而增大；x 取什么值时，y 随 x 增大而减小 3. .已知抛物线的对称轴为直线 x=2，且经过点（l，1） ， （4，0）两点 （1）求这条抛物线所对应的二次函数的表达式； （2）写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标； （3）这个函数有最大值还是最小值？ 这个值是多少？ - 6 - 4. 已知抛物线 y=x 2+(2n-1)x+n2-1 (n 为常数). (1)当该抛物线经过坐标原点，并且顶点在第四象限时，求出它所对应的函数关系式； (2)设 A 是(1)所确定的抛物线上位于 x 轴下方、且在对称轴左侧的一个动点，过 A 作 x 轴的平行线，交 抛物线于另一点 D，再作 ABx 轴于 B，DCx 轴于 C. 当 BC=1 时，求矩形 ABCD 的周长； 试问矩形 ABCD 的周长是否存在最大值？如果存在，请求出这 个最大值，并指出此时 A 点的坐标；如果不存在，请说明理由. 5.如图，直线4 3 4 xy与x轴交于点A，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点A、C和点 0,1B. （1）求该二次函数的关系式； （2）设M为直线 AC 上方二次函数的图象上一点，求ACM面积的最大值；
