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1、绝密启用前杨浦区2020学年度第二学期高三年级模拟质量调研数学学科试卷注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分.考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果1. 已知复数满足（虚数单位），则_2. 已知函数的反函数为 ，则 _3. 在行列式中，元素的代数余子式的值为_4. 在的二项展开式中，项的系数是_5. 已知满足:，则的最大值为_.6. 方程的解为_7. 已知一组数据的中位数为4，则其总体方差为_8. 已知函数为奇函数，若，则_9. 直线：（ ）被圆：所截得的弦长为，
2、则_10. 非空集合中所有元素乘积记为. 已知集合 ，从集合的所有非空子集中任选一个子集，则为偶数的概率是_（结果用最简分数表示）11. 函数，若有且仅有一个实数满足： ；是函数图象的对称轴.则的取值范围是_12. 如图，在棱长为2的正方体中，点是平面上一动点，且满足，则满足条件的所有点所围成的平面区域的面积是_二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分. 13. 若，是虚数单位，则 “”是“为纯虚数 ”的 （ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件1
3、4. 已知等差数列是无穷数列，若，则数列的前项和（ ）A. 无最大值，有最小值B. 有最大值，无最小值C 有最大值，有最小值D. 无最大值，无最小值15. 在四边形ABCD中，且满足 ，则（ ）A. 2B. C. D. 16. 已知函数的定义域为，值域为， 函数具有下列性质：（1）若，则；（2）若，则.下列结论正确是（ ）函数可能奇函数；函数可能是周期函数；存在，使得；对任意，都有.A. B. C. D. 三、解答题（本大题满分76分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .17. 如图，棱柱中，底面， 是棱的中点 .（1）求证：直线与直线为异面直线；（2）
4、求直线与平面所成角的大小.18. 已知，（为实常数）（1）当时，求不等式解集；（2）若函数在中有零点，求的取值范围.19. 如图，三地在以为圆心的圆形区域边界上，公里，公里， 是圆形区域外一景点，.（1）、相距多少公里？（精确到小数点后两位）（2）若一汽车从处出发，以每小时公里的速度沿公路行驶到处，需要多少小时？（精确到小数点后两位）20. 焦点为的抛物线与圆交于两点，其中点横坐标为，方程的曲线记为，是曲线上一动点.（1）若在抛物线上且满足，求直线的斜率；（2）是轴上一定点. 若动点在上满足的范围内运动时，恒成立，求的取值范围； （3）是曲线上另一动点，且满足，若面积为4 ，求线段的长.21.
5、 已知无穷数列与无穷数列满足下列条件：； .记数列的前项积为 .（1）若，求；（2）是否存在，使得成等差数列？若存在，请写出一组;若不存在，请说明理由；（3）若，求的最大值.一填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分.考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果1. 已知复数满足（为虚数单位），则_答案：思路：先求出复数的共轭复数，由此即可求解.解：因为，所以，所以，故答案为：5.2. 已知函数的反函数为 ，则 _答案：思路：求出反函数，将代入即可求解.解：函数的反函数是，互换，得，则.故答案为：.3. 在行列式中，元素的代数余子式的值为_答案：思路：根据代数
6、余子式的定义可得其值.解：元素3的代数余子式的值为，故答案为：.4. 在的二项展开式中，项的系数是_答案：思路：根据二项式展开式的通项公式求得项的系数.解：依题意.故答案为：.5. 已知满足:，则的最大值为_.答案：思路：在平面直角坐标系内，画出约束条件所表示的可行域，平移直线使其经过可行域内一点使得直线纵截距最小，把该点的坐标代入目标函数得解.解：作出不等式组表示的可行域，如图中阴影ABC，目标函数，即表示斜率为，纵截距为的平行直线系，画出直线l0：，平移直线l0使其过点A时直线纵截距最小，z最大，由得点A(-1,-5)，z的最大值为.故答案为：96. 方程的解为_答案：思路：结合对数运算以
7、及指数运算，解方程求得的值.解：依题意，即或，解得或，当时，不符合题意，舍去.所以.故答案为：7. 已知一组数据的中位数为4，则其总体方差为_答案：思路：先利用中位数的定义求出，然后由方差的计算公式求解即可.解：因为数据的中位数为4，所以，故，所以这组数据的平均数为，故方差为，故答案为：.8. 已知函数为奇函数，若，则_答案：思路：利用奇函数的性质，代入1和-1，即可求得函数值.解：由题知：，又为奇函数，则，故，故答案为：9. 直线：（ ）被圆：所截得的弦长为，则_答案：思路：求出圆的圆心与半径，利用点到直线的距离，求解，然后求解即可解：圆的圆心，半径为4，由点到直线的距离公式可得：，故答案为
8、：10. 非空集合中所有元素乘积记为. 已知集合 ，从集合所有非空子集中任选一个子集，则为偶数的概率是_（结果用最简分数表示）答案：思路：先求出集合的所有非空子集的个数，然后求出为奇数的集合的个数，从而求出为偶数的集合的个数，最后由古典概型的概率计算公式可求解：解：因为集合，所以集合的所有非空子集共有个，若为奇数，则中元素全部为奇数，又的非空子集个数，共有个，所以为偶数的共有个，故为偶数的概率是故答案为：点评：结论点睛：若集合A有n个元素，则集合A的子集有个，非空子集有个.11. 函数，若有且仅有一个实数满足： ；是函数图象的对称轴.则的取值范围是_答案：思路：化简函数解析式得，分析得出，根据
9、已知条件可得出关于实数的不等式，由此可得出实数的取值范围.解：，由于是函数图象的对称轴，则，所以，因为，即，所以，当增大时，增大，由于有且只有一个实数满足： ；是函数图象的对称轴.所以，则有，解得.因此，实数的取值范围是.故答案为：.点评：思路点睛：三角函数图象与性质问题的求解思路：（1）将函数解析式变形为或的形式；（2）将看成一个整体；（3）借助正弦函数或余弦函数的图象和性质（如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等）解决相关问题.12. 如图，在棱长为2的正方体中，点是平面上一动点，且满足，则满足条件的所有点所围成的平面区域的面积是_答案：思路：判断出点的轨迹，结合球的有关计算，求得
10、所求的面积.解：连接交于，依题意点是平面上一动点，且满足，所以，所以点的轨迹是以为球心，为半径的球面被平面所截得圆.设时，中点，连接，过作，交于.优于，所以平面，由于平面，平面，所以平面，所以到平面的距离为.正方体的边长为，则，所以截得圆的半径为，截得圆的面积为.故答案为：点评：与球有关的计算，要注意利用球的几何性质，结合勾股定理来求解.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分. 13. 若，是虚数单位，则 “”是“为纯虚数 ”的 （ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D
11、. 既不充分也不必要条件答案：B思路：根据充分、必要条件的知识以及纯虚数的知识确定正确选项.解：为纯虚数时，所以，所以“”不能推出“为纯虚数 ”，“为纯虚数 ”能推出“”，所以“”是“为纯虚数 ”的必要不充分条件.故选：B14. 已知等差数列是无穷数列，若，则数列的前项和（ ）A. 无最大值，有最小值B. 有最大值，无最小值C 有最大值，有最小值D. 无最大值，无最小值答案：A思路：利用等差数列的定义及通项公式，判断数列的单调性，进而判断数列前项和的最值.解：由数列为等差数列，且，得，故数列为递增数列，且，所以有最小值，无最大值，故选：A.15. 在四边形ABCD中，且满足 ，则（ ）A. 2
12、B. C. D. 答案：D思路：由向量相等得为平行四边形，利用向量加法法则结合数量积可得，且是的平分线，从而易得对角线的长解：，则四边形为平行四边形，设都是单位向量，则，则，所以， 因此由知，且是的平分线，因此四边形是菱形，而，故选：D.16. 已知函数的定义域为，值域为， 函数具有下列性质：（1）若，则；（2）若，则.下列结论正确是（ ）函数可能是奇函数；函数可能是周期函数；存在，使得；对任意，都有.A. B. C. D. 答案：B思路：利用函数奇偶性、周期性的定义以及函数所满足的两个性质对逐一分析可解.解：解：对：若为奇函数，则.令，由（2）知，而与（1）矛盾，所以错误.对：若为周期函数，
13、则(其中为非零常数)，当（比如）值域时，令，则（1）成立；（2）也成立，故正确.对：由可知，存在，使为任意非零常数，所以可使，故正确.对：令，则由（1）知，从而，所以，所以正确.故选：B.点评：关键点点睛：牢牢抓住所满足的两个性质以及函数的奇偶性、周期性的定义进行分析判断.三、解答题（本大题满分76分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .17. 如图，棱柱中，底面， 是棱的中点 .（1）求证：直线与直线为异面直线；（2）求直线与平面所成角的大小.答案：（1）证明见解析；（2）.思路：(1)假定直线与直线不是异面直线，由此推理导出矛盾得解；(2)建立空间直角坐标系，求直线的方向向量与平面法向量所成角的正弦得解.详解】(1)棱柱中，假设直线与直线共面，点平面，平面，而平面，且平面/平面，即平面，所以矛盾，假设不成立，故直线与直线为异面直线；(2)如图，以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，则，设平面的一个法向量，则，u=0,
