《人教A版2020届高考数学二轮复习（文）讲义及题型归纳（中档）：立体几何第二章 空间角与距离》由会员分享，可在线阅读，更多相关《人教A版2020届高考数学二轮复习（文）讲义及题型归纳（中档）：立体几何第二章 空间角与距离（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、文科:第二章空间角与距离一、考纲解读1. 掌握各种角的定义，弄清异面直线所成的角与两直线所成的角，二面角与二面角的平面角，直线与平面所成的角和斜线与平面所成的角，二面角与两平面所成的角的联系与区别 ，弄清他们各自的取值范围 。2. 细心体会求空间角的转化和数形结合思想，熟练掌握平移，射影等方法。二、命题趋势探究 异面直线所成角，线面角，二面角时高考中考查的热点，解答与空间角有关的问题时既可用传统法，又可用向量法。在新课程标准下，对立体几何的基本理论知识要求有所降低，因此应用向量这一工具解题更为重要，特别是要熟练掌握利用空间图形的特殊性，构造适当的空间直角坐标系解决问题的方法，并能灵活应用。空间
2、角是立体几何中的一个重要概念，它是空间图形的一个突出量化指标，是空间图形位置关系的具体体现，故以高频的考点出现在历届高考试题中，在选择题，填空题及解答题中均有出现。三、知识点精讲(一).空间角的定义和范围（1） 两条异面直线所成角的范围是，当=时，这两条异面直线互相垂直。（2） 斜线AO与它在平面内的射影AB所成角叫做直线与平面所成的角。 平面的斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的任一直线所成角中最小的角，如果直线和平面垂直，那么直线与平面所成的角为；如果直线和平面平行或直线在平面内，那么就是直线和平面所成的角为0.直线和平面所成的角的范围为；斜线和平面所成的角的范围为（3） 从一条直
3、线出发的两个半平面所组成的角叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面，棱为，两个平面分别为，的二面角记做- -，二面角的范围是（4） 一个平面垂直于二面角的公共棱，且与两个半平面的交线分别是射线OA，OB，则AOB叫做二面角的平面角，平面角是直角的二面角叫做直二面角，相交成直二面角的两个平面垂直.(二).点到平面距离的定义与常用术语点到平面的距离即点到它在平面内的正射影的距离.常用术语有以下4点.1点在直线上的射影 自点向直线引垂线，垂足叫做点在直线上的射影点到垂足的距离叫点到直线的距离2点在平面内的射影 自点向平面引垂线，垂足叫做点在平面内的射影，这点和垂足间的线段叫做
4、这点到平面的垂线段垂线段的长度叫做这点到这个平面的距离3斜线在平面内的射影一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足，斜线上一点和斜足间的线段，叫做这点到平面的斜线段过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影，垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的斜线段在这个平面内的射影4求点面距离的方法：直接法：直接作面的垂线，确定垂足的位置；等体积法：对同一个三棱锥，从不同的角度选择底和高计算体积并加以比较即可转化法：转化成求另一点到该平面的距离，常见的是转化为求与面平行的直线上的点到面的距离五、解答题题型总结核心考点
5、一：点到面的距离与等体积法【例1】在棱长为的正方体中，为的中点 求证：四面体与四面体的体积相等； 求点到平面的距离【解析】 连结，则，又平面，平面，平面，点与点到平面的距离相等四面体与四面体的体积相等； 【例2】如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD平面ABCD,ABDC,PAD是等边三角形,已知BD=2AD=8,AB=2DC=45.(1)设M是PC上的一点,证明:平面MBD平面PAD;(2)求四棱锥P-ABCD的体积. (1)证明 在ABD中,因为AD=4,BD=8,AB=45,所以AD2+BD2=AB2.所以ADBD.又平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,BD平面ABC
6、D,所以BD平面PAD.又BD平面MBD,故平面MBD平面PAD.(2)解 过点P作POAD交AD于点O,因为平面PAD平面ABCD,所以PO平面ABCD,所以PO为四棱锥P-ABCD的高.又PAD是边长为4的等边三角形,因此PO=324=23.在底面四边形ABCD中,ABDC,AB=2DC,所以四边形ABCD是梯形.在RtADB中,斜边AB边上的高为4845=855,此即为梯形ABCD的高,所以四边形ABCD的面积为S=25+452855=24.故VP-ABCD=2423=163.【例3】如图,在四棱锥S-ABCD中,ABCD,BCCD,侧面SAB为等边三角形,AB=BC=2,CD=SD=1
7、.(1)证明:SD平面SAB;(2)求四棱锥S-ABCD的高. (1)证明 如图,取AB的中点E,连接DE,SE,则四边形BCDE为矩形,DE=CB=2,AD=DE2+AE2=5.侧面SAB为等边三角形,AB=2,SA=SB=AB=2,且SE=3.又SD=1,SA2+SD2=AD2,SB2+SD2=BD2,SDSA,SDSB.SASB=S,SD平面SAB.(2)解 设四棱锥S-ABCD的高为h,则h也是三棱锥S-ABD的高.由(1)知,SD平面SAB,由VS-ABD=VD-SAB,得SABDh=SSABSD.又SABD=ABDE=22=2,SSAB=34AB2=3422=3,SD=1,所以h=
8、SSABSDSABD=312=32.故四棱锥S-ABCD的高为32.【例4】如图,已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为2,B1BA=3,M,N分别为A1C1与B1C的中点,且侧面ABB1A1底面ABC.(1)证明:MN平面ABB1A1;(2)求三棱柱B1-ABC的高及体积. (1)证明 取AC的中点P,连接PN,PM.在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N分别为A1C1与B1C的中点,PNAB1,PMAA1.PMPN=P,AB1AA1=A,PM,PN平面PMN,AB1,AA1平面AB1A1,平面PMN平面AB1A1.MN平面PMN,MN平面ABB1A1.(2)解 设O为AB的中点,
9、连接B1O,由题意知B1BA是正三角形,则B1OAB.侧面ABB1A1底面ABC,且交线为AB,B1O平面ABC,三棱柱B1-ABC的高B1O=32AB1=3.SABC=22sin 60=3,三棱柱B1-ABC的体积V=SABCB1O=1333=1.【例5】如图,矩形ABCD所在平面与半圆弧CD所在平面垂直,M是CD上异于C,D的点.(1)证明:平面AMD平面BMC;(2)在线段AM上是否存在点P,使得MC平面PBD?说明理由.解 (1)由题设知,平面CMD平面ABCD,交线为CD.因为BCCD,BC平面ABCD,所以BC平面CMD,故BCDM.因为M为CD上异于C,D的点,且DC为直径,所以
10、DMCM.又BCCM=C,所以DM平面BMC.而DM平面AMD,故平面AMD平面BMC.(2)当P为AM的中点时,MC平面PBD.证明如下:连接AC交BD于O.因为ABCD为矩形,所以O为AC中点.连接OP,因为P为AM中点,所以MCOP.MC平面PBD,OP平面PBD,所以MC平面PBD.【例6】如图,在四棱锥P-ABCD中,ABC=BAD=90,BC=2AD,PAB与PAD都是边长为2的等边三角形,E是BC的中点.(1)求证:AE平面PCD;(2)求四棱锥P-ABCD的体积. (1)证明 ABC=BAD=90,ADBC.BC=2AD,E是BC的中点,AD=CE,四边形ADCE是平行四边形,
11、AECD.又AE平面PCD,CD平面PCD,AE平面PCD.(2)解 连接DE,BD,设AEBD=O,连接OP,则四边形ABED是正方形,O为BD的中点.PAB与PAD都是边长为2的等边三角形,BD=22,OB=2,OA=2,PA=PB=2,OPOB,OP=2,OP2+OA2=PA2,即OPOA.又OA平面ABCD,BD平面ABCD,OAOB=O,OP平面ABCD.VP-ABCD=S梯形ABCDOP=1312(2+4)22=22.【例7】在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=CA=AA1=2,侧棱AA1平面ABC,且D,E分别是棱A1B1,AA1的中点,点F在棱AB上,且AF=AB.(1
12、)求证:EF平面BDC1;(2)求三棱锥D-BEC1的体积.(1)证明 取AB的中点O,连接A1O.AF=AB,F为AO的中点.又E为AA1的中点,EFA1O.A1D=A1B1,BO=AB,ABA1B1,A1DBO,四边形A1DBO为平行四边形,A1OBD,EFBD.又EF平面BDC1,BD平面BDC1,EF平面BDC1.(2)解 AA1平面A1B1C1,C1D平面A1B1C1,AA1C1D.A1C1=B1C1=A1B1=2,D为A1B1的中点,C1DA1B1,C1D=3.又AA1平面AA1B1B,A1B1平面AA1B1B,AA1A1B1=A1,C1D平面AA1B1B.AB=AA1=2,D,E
13、分别为A1B1,AA1的中点,SBDE=22-1212-12-11=.VD-BEC1=VC1-BDE=13SBDEC1D=13323=32.【例8】如图,正方形ABCD的边长等于2,平面ABCD平面ABEF,AFBE,BE=2AF=2,EF=3.(1)求证:AC平面DEF;(2)求三棱锥C-DEF的体积.(1)证明 连接BD,记ACBD=O,取DE的中点G,连接OG,FG.点O,G分别是BD和ED的中点,OGBE.又AFBE,OGAF,四边形AOGF是平行四边形,AOFG,即ACFG.又AC平面DEF,FG平面DEF,AC平面DEF.(2)解 在四边形ABEF中,过F作FHAB交BE于点H.由
14、已知条件知,在梯形ABEF中,AB=FH=2,EF=3,EH=1,则FH2=EF2+EH2,即FEEB,从而FEAF.AC平面DEF,点C与点A到平面DEF的距离相等,VC-DEF=VA-DEF.DAAB,DA平面ABEF,又SAEF=AFEF=1213=32.三棱锥C-DEF的体积VC-DEF=VA-DEF=VD-AEF=SAEFAD=13322=33.【例9】如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1平面ABC,点M是棱CC1的中点.(1)在棱AB上是否存在一点N,使MN平面AB1C1?若存在,请确定点N的位置.若不存在,请说明理由;(2)当ABC是等边三角形,且AC=CC1=2时,求点M到平面AB1C1的距离.解 (1)在棱AB上存在中点N,使MN平面AB1C1,证明如下:设BB1的中点为D,连接DM,NM,ND,因为点M,N,D是CC1,AB,BB1的中点,所以NDAB1,DMB1C1,所以ND平面AB1C1,DM平面AB1C1.又NDDM=D,所以平面NDM平面AB1C1.因为MN平面NDM,所以MN平面AB1C1.(2)
