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1、普通高等学校招生全国统一考试数学真题浙江文科1.(2012浙江,文1)设全集U=1,2,3,4,5,6,集合P=1,2,3,4,Q=3,4,5,则P(UQ)=(). A.1,2,3,4,6B.1,2,3,4,5C.1,2,5D.1,2D由已知得,UQ=1,2,6,所以P(UQ)=1,2.2.(2012浙江,文2)已知i是虚数单位,则=().A.1-2iB.2-iC.2+iD.1+2iD=1+2i,选D.3.(2012浙江,文3)已知某三棱锥的三视图(单位:cm)如图所示,则该三棱锥的体积是().A.1 cm3B.2 cm3C.3 cm3D.6 cm3A由三视图得,该三棱锥底面面积S=21=1(
2、cm2),高为3 cm,由体积公式,得V=Sh=13=1(cm3).4.(2012浙江,文4)设aR,则“a=1”是“直线l1:ax+2y-1=0与直线l2:x+2y+4=0平行”的().A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件Cl1与l2平行的充要条件为a2=21且a4-11,得a=1,故选C.5.(2012浙江,文5)设l是直线,是两个不同的平面,().A.若l,l,则B.若l,l,则C.若,l,则lD.若,l,则lBA选项中由l,l不能确定与的位置关系,C选项中由,l可推出l或l,D选项由,l不能确定l与的位置关系.6.(2012浙江,文6)把函数y=
3、cos 2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到的图象是().Ay=cos 2x+1图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得y1=cos x+1,再向左平移1个单位长度得y2=cos(x+1)+1,再向下平移1个单位长度得y3=cos(x+1),故相应图象为A.7.(2012浙江,文7)设a,b是两个非零向量.().A.若|a+b|=|a|-|b|,则abB.若ab,则|a+b|=|a|-|b|C.若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数,使得b=aD.若存在实数,使得b=a,则|a+b|=|a|-|b|C由|a+b|=
4、|a|-|b|两边平方可得,|a|2+2ab+|b|2=|a|2-2|a|b|+|b|2,即ab=-|a|b|,cos=-1,即a与b反向,根据向量共线定理,则存在实数,使得b=a.8.(2012浙江,文8)如图,中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点,M,N是双曲线的两顶点.若M,O,N将椭圆长轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率的比值是().A.3B.2C.D.B由题意可知椭圆的长轴长2a1是双曲线实轴长2a2的2倍,即a1=2a2,而椭圆与双曲线有相同的焦点.故离心率之比为=2.9.(2012浙江,文9)若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是().A.B.C.5D.6Cx+
5、3y=5xy,+=1.3x+4y=(3x+4y)1=(3x+4y)=+2=5,当且仅当=,即x=1,y=时等号成立.10.(2012浙江,文10)设a0,b0,e是自然对数的底数,().A.若ea+2a=eb+3b,则abB.若ea+2a=eb+3b,则abD.若ea-2a=eb-3b,则ab.故选A.11.(2012浙江,文11)某个年级有男生560人,女生420人,用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本,则此样本中男生人数为.160根据分层抽样的特点,此样本中男生人数为280=160.12.(2012浙江,文12)从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中,随机(等可能)
6、取两点,则该两点间的距离为的概率是.五点中任取两点的不同取法共有=10种,而两点之间距离为的情况有4种,故概率为=.13.(2012浙江,文13)若某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是.当i=1时,T=1,当i=2时,T=,当i=3时,T=,当i=4时,T=,当i=5时,T=,当i=6时,结束循环,输出T=.14.(2012浙江,文14)设z=x+2y,其中实数x,y满足则z的取值范围是.不等式组表示的可行域如图阴影部分,结合图象知,O点,C点分别使目标函数取得最小值、最大值,代入得最小值为0,最大值为.15.(2012浙江,文15)在ABC中,M是线段BC的中点,AM=3,BC=10
7、,则=.-16=(+)(+)=+=|2+(+)+|cos =9-25=-16.16.(2012浙江,文16)设函数f(x)是定义在R上的周期为2的偶函数,当x0,1时,f(x)=x+1,则f=.f=f=f=f=+1=.17.(2012浙江,文17)定义:曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离.已知曲线C1:y=x2+a到直线l:y=x的距离等于曲线C2:x2+(y+4)2=2到直线l:y=x的距离,则实数a=.x2+(y+4)2=2到直线y=x的距离为-=,所以y=x2+a到y=x的距离为,而与y=x平行且距离为的直线有两条,分别是y=x+2与y=x-2,而抛物线y=x2+
8、a开口向上,所以y=x2+a与y=x+2相切,可求得a=.18.(2012浙江,文18)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bsin A=acos B.(1)求角B的大小;(2)若b=3,sin C=2sin A,求a,c的值.解:(1)由bsin A=acos B及正弦定理=,得sin B=cos B,所以tan B=,所以B=.(2)由sin C=2sin A及=,得c=2a.由b=3及余弦定理b2=a2+c2-2accos B,得9=a2+c2-ac.所以a=,c=2.19.(2012浙江,文19)已知数列an的前n项和为Sn,且Sn=2n2+n,nN*,数列bn满足an
9、=4log2bn+3,nN*.(1)求an,bn;(2)求数列anbn的前n项和Tn.解:(1)由Sn=2n2+n,得当n=1时,a1=S1=3;当n2时,an=Sn-Sn-1=4n-1.所以an=4n-1,nN*.由4n-1=an=4log2bn+3,得bn=2n-1,nN*.(2)由(1)知anbn=(4n-1)2n-1,nN*.所以Tn=3+72+1122+(4n-1)2n-1,2Tn=32+722+(4n-5)2n-1+(4n-1)2n,所以2Tn-Tn=(4n-1)2n-3+4(2+22+2n-1)=(4n-5)2n+5.故Tn=(4n-5)2n+5,nN*.20.(2012浙江,文
10、20)如图,在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,ADBC,ADAB,AB=,AD=2,BC=4,AA1=2,E是DD1的中点,F是平面B1C1E与直线AA1的交点.(1)证明:EFA1D1;BA1平面B1C1EF;(2)求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值.(1)证明:因为C1B1A1D1,C1B1平面ADD1A1,所以C1B1平面A1D1DA.又因为平面B1C1EF平面A1D1DA=EF,所以C1B1EF,所以A1D1EF.因为BB1平面A1B1C1D1,所以BB1B1C1.又因为B1C1B1A1,所以B1C1平面ABB1A1,所以B1C1BA1.在矩形ABB1A1中,
11、F是AA1的中点,tanA1B1F=tanAA1B=,即A1B1F=AA1B,故BA1B1F.所以BA1平面B1C1EF.(2)解:设BA1与B1F交点为H,连结C1H.由(1)知BA1平面B1C1EF,所以BC1H是BC1与面B1C1EF所成的角.在矩形AA1B1B中,AB=,AA1=2,得BH=.在直角BHC1中,BC1=2,BH=,得sinBC1H=.所以BC1与平面B1C1EF所成角的正弦值是.21.(2012浙江,文21)已知aR,函数f(x)=4x3-2ax+a.(1)求f(x)的单调区间;(2)证明:当0x1时,f(x)+|2-a|0.(1)解:由题意得f(x)=12x2-2a.
12、当a0时,f(x)0恒成立,此时f(x)的单调递增区间为(-,+).当a0时,f(x)=12,此时函数f(x)的单调递增区间为和.单调递减区间为.(2)证明:由于0x1,故当a2时,f(x)+|a-2|=4x3-2ax+24x3-4x+2.当a2时,f(x)+|a-2|=4x3+2a(1-x)-24x3+4(1-x)-2=4x3-4x+2.设g(x)=2x3-2x+1,0x1,则g(x)=6x2-2=6,于是x01g(x)-0+g(x)1减极小值增1所以,g(x)min=g=1-0.所以当0x1时,2x3-2x+10.故f(x)+|a-2|4x3-4x+20.22.(2012浙江,文22)如图
13、,在直角坐标系xOy中,点P到抛物线C:y2=2px(p0)的准线的距离为.点M(t,1)是C上的定点,A,B是C上的两动点,且线段AB被直线OM平分.(1)求p,t的值;(2)求ABP面积的最大值.解:(1)由题意知得(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点为Q(m,m).由题意知,设直线AB的斜率为k(k0).由得(y1-y2)(y1+y2)=x1-x2,故k2m=1.所以直线AB方程为y-m=(x-m),即x-2my+2m2-m=0.由消去x,整理得y2-2my+2m2-m=0,所以=4m-4m20,y1+y2=2m,y1y2=2m2-m.从而|AB|=|y1-y2|=.设点P到直线AB的距离为d,则d=.设ABP的面积为S,则S=|AB|d=|1-2(m-m2)|.由=4m-4m20,得0m1.令u=,0u,则S=u(1-2u2).设S(u)=u(1-2u2),0u,则S(u)=1-6u2.由S(u)=0,得u=,所以S(u)max=S=.故ABP面积的最大值为.
