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1、普通高等学校招生全国统一考试数学真题2014年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)数学(理科)第卷(选择题共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.1.(2014四川,理1)已知集合A=x|x2-x-20,集合B为整数集,则AB=().A.-1,0,1,2B.-2,-1,0,1C.0,1D.-1,0答案:A解析:A=x|x2-x-20=x|-1x2,AB=AZ=x|-1x2Z=-1,0,1,2.2.(2014四川,理2)在x(1+x)6的展开式中,含x3项的系数为().A.30B.20C.15D.10答案:C解析:含x3
2、的项是由(1+x)6展开式中含x2的项与x相乘得到,又(1+x)6展开式中含x2的项的系数为C62=15,故含x3项的系数是15.3.(2014四川,理3)为了得到函数y=sin(2x+1)的图象,只需把函数y=sin 2x的图象上所有的点().A.向左平行移动12个单位长度B.向右平行移动12个单位长度C.向左平行移动1个单位长度D.向右平行移动1个单位长度答案:A解析:y=sin(2x+1)=sin 2x+12,需要把y=sin 2x图象上所有的点向左平移12个单位长度即得到y=sin(2x+1)的图象.4.(2014四川,理4)若ab0,cdbdB.acbcD.adbc答案:D解析:cd
3、-d0,01-c1-c0.又ab0,a-db-c,adbc.5.(2014四川,理5)执行如图的程序框图,如果输入的x,yR,那么输出的S的最大值为().A.0B.1C.2D.3答案:C解析:先画出x,y满足的约束条件x0,y0,x+y1,对应的可行域如图中阴影部分:移动直线l0:y=-2x.当直线经过点A(1,0)时,y=-2x+S中截距S最大,此时Smax=21+0=2.再与x0,y0,x+y1不成立时S=1进行比较,可得Smax=2.6.(2014四川,理6)六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有().A.192种B.216种C.240种D.288种
4、答案:B解析:(1)当最左端排甲的时候,排法的种数为A55;(2)当最左端排乙的时候,排法种数为C41A44.因此不同的排法的种数为A55+C41A44=120+96=216.7.(2014四川,理7)平面向量a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(mR),且c与a的夹角等于c与b的夹角,则m=().A.-2B.-1C.1D.2答案:D解析:a=(1,2),b=(4,2),c=m(1,2)+(4,2)=(m+4,2m+2).又c与a的夹角等于c与b的夹角,cos=cos.ca|c|a|=cb|c|b|.即5m+85|c|=8m+2025|c|,解得m=2.8.(2014四川,理8)如图,
5、在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点O为线段BD的中点.设点P在线段CC1上,直线OP与平面A1BD所成的角为,则sin 的取值范围是().A.33,1B.63,1C.63,223D.223,1答案:B解析:以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图所示.不妨设DC=DA=DD1=1,则D(0,0,0),B(1,1,0),A1(1,0,1),O12,12,0,并设点P(0,1,t)且0t1.则OP=-12,12,t,A1D=(-1,0,-1),A1B=(0,1,-1).设平面A1BD的法向量为n=(x0,y0,z0),则有nA1D=0,nA1
6、B=0,即-x0-z0=0,y0-z0=0,取x0=1,y0=-1,z0=-1,n=(1,-1,-1).sin =|cos|=|-1-t|3t2+12(0t1),sin2=t2+2t+13t2+12,0t1.令f(t)=t2+2t+13t2+12,0t1.则f(t)=2t2+t-1-3t2+122=-(2t-1)(t+1)3t2+122,可知当t0,12时,f(t)0;当t12,1时,f(t)0.又f(0)=23,f12=1,f(1)=89,fmax(t)=f12=1,fmin(t)=f(0)=23.sin 的最大值为1,最小值为63.sin 的取值范围为63,1.9.(2014四川,理9)已
7、知f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),x(-1,1).现有下列命题:f(-x)=-f(x);f2x1+x2=2f(x);|f(x)|2|x|.其中的所有正确命题的序号是().A.B.C.D.答案:A解析:对于,f(x)=ln(1+x)-ln(1-x)=ln1+x1-x,f(-x)=ln1-x1+x=-ln1+x1-x=-f(x),又x(-1,1),f(-x)=-f(x),故命题正确;对于,f2x1+x2=ln1+2x1+x2-ln1-2x1+x2=ln(1+x)21+x2-ln(1-x)21+x2=ln1+x1-x2=2ln1+x1-x=2f(x),故命题正确;对于,由于f(x)和2x均
8、为奇函数,不妨仅研究x0,1)时的情形,此时|f(x)|=ln1+x1-x=ln1+x1-x,2|x|=2x=ln e2x.令(x)=1+x1-x-e2x,则(x)=21(1-x)2-e2x,令(x)=0,得x=0,且当x0,1)时,(x)0,因此(x)在0,1)上为增函数,(x)(0)=0,即1+x1-xe2x在x0,1)上恒成立,故ln1+x1-x2x也成立;同理根据对称性可知对x(-1,1)均有ln1+x1-x|2x|,即|f(x)|2|x|成立,为真命题.综上可知,正确命题的序号为.10.(2014四川,理10)已知F为抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,OAO
9、B=2(其中O为坐标原点),则ABO与AFO面积之和的最小值是().A.2B.3C.1728D.10答案:B解析:设AB所在直线方程为x=my+t.由x=my+t,y2=x,消去x,得y2-my-t=0.设A(y12,y1),B(y22,y2)(不妨令y10,y20),故y12+y22=m,y1y2=-t.而OAOB=y12y22+y1y2=2.解得y1y2=-2或y1y2=1(舍去).所以-t=-2,即t=2.所以直线AB过定点M(2,0).而SABO=SAMO+SBMO=12|OM|y1-y2|=y1-y2,SAFO=12|OF|y1=1214y1=18y1,故SABO+SAFO=y1-y
10、2+18y1=98y1-y2.由98y1-y2=98y1+(-y2)298y1(-y2)=2982=3,得SABO+SAFO的最小值为3,故选B.第卷(非选择题共100分)二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.(2014四川,理11)复数2-2i1+i=.答案:-2i解析:2-2i1+i=(2-2i)(1-i)(1+i)(1-i)=2-2-4i2=-2i.12.(2014四川,理12)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数,当x-1,1)时,f(x)=-4x2+2,-1x0,x,0x-2,aR)有最大值,则f(x)B.其中的真命题有.(写出所有真命题的序号)答案:解析:对于,
11、“f(x)A”说明f(x)的值域为R,显然能推出“bR,aD,f(a)=b”,反之对满足“bR,aD,f(a)=b”的函数其值域也必为R.所以为真命题;对于,“函数f(x)B”“f(x)有最大值和最小值”.如函数f(x)=11+x2的值域为(0,1-1,1,但f(x)=11+x2无最小值.但“f(x)有最大值和最小值”“f(x)B”.综上知为假命题;对于,因为f(x)A,所以f(x)的值域为R.因为g(x)B,所以存在正数M使得-Mg(x)M,所以f(x)+g(x)的值域为R-M,M=R.所以f(x)+g(x)B.因此为真命题;对于,易证当x-2时,xx2+1-12,12,要使f(x)=aln(x+2)+xx2+1(x-2,
