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1、普通高等学校招生全国统一考试数学真题2015年普通高等学校招生全国统一考试湖南理科数学本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分,共6页.时量120分钟,满分150分.一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2015湖南,理1)已知(1-i)2z=1+i(i为虚数单位),则复数z=()A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i答案:D解析:由已知得z=(1-i)21+i=-2i1+i=-2i(1-i)(1+i)(1-i)=-2-2i2=-1-i.2.(2015湖南,理2)设A,B是两个集合,则“AB=A”是“AB”的()A.
2、充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:C解析:若AB=A,则有AB;若AB,则必有AB=A.所以“AB=A”是“AB”的充要条件.3.(2015湖南,理3)执行如图所示的程序框图.如果输入n=3,则输出的S=()A.67B.37C.89D.49答案:B解析:由题意得,输出的S为数列1(2n-1)(2n+1)的前3项和,而1(2n-1)(2n+1)=1212n-1-12n+1,即Sn=121-12n+1=n2n+1.故当输入n=3时,S3=37,故选B.4.(2015湖南,理4)若变量x,y满足约束条件x+y-1,2x-y0,1-x0,解得-1x0,即f(x)
3、0,所以f(x)在(0,1)上是增函数.故选A.6.(2015湖南,理6)已知x-ax5的展开式中含x32的项的系数为30,则a=()A.3B.-3C.6D.-6答案:D解析:展开式的通项为Tr+1=C5r(x)5-r-axr=(-1)rC5rarx52-r(r=0,1,2,5).令52-r=32,得r=1,所以展开式中含x32项的系数为(-1)C51a,于是-5a=30,解得a=-6.7.(2015湖南,理7)在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点,则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为()A.2 386B.2 718C.3 413D.4 772附
4、:若XN(,2),则P(-X+)=0.682 6,P(-2X+2)=0.954 4.答案:C解析:由于曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线,所以P(-1X1)=0.682 6,由正态分布密度曲线的对称性知P(0X1)=0.341 3,即图中阴影部分的面积为0.341 3.由几何概型知点落入阴影部分的概率P=0.341 31=0.341 3.因此,落入阴影部分的点的个数的估计值为10 0000.341 3=3 413.故选C.8.(2015湖南,理8)已知点A,B,C在圆x2+y2=1上运动,且ABBC.若点P的坐标为(2,0),则|PA+PB+PC|的最大值为()A.6B.7C.8D.9答案
5、:B解析:设坐标原点为O,则PA+PB+PC=PO+OA+PO+OB+PO+OC=3PO+OB+(OA+OC),由于ABBC,所以AC是圆的直径,因此OA+OC=0,于是|PA+PB+PC|=|3PO+OB|=(3PO+OB)2=9|PO|2+6POOB+|OB|2=922+12-6OPOB=37-6|OP|OB|cosPOB=37-12cosPOB,故当POB=时,cosPOB取最小值-1,此时|PA+PB+PC|取最大值7.9.(2015湖南,理9)将函数f(x)=sin 2x的图象向右平移02个单位后得到函数g(x)的图象.若对满足|f(x1)-g(x2)|=2的x1,x2,有|x1-x
6、2|min=3,则=()A.512B.3C.4D.6答案:D解析:由题意可知,g(x)=sin(2x-2).因为|f(x1)-g(x2)|=2,可知f(x1)和g(x2)分别为f(x)和g(x)的最大值和最小值(或最小值和最大值).不妨令2x1=2+2k(kZ),2x2-2=-2+2m(mZ),则x1-x2=2-+(k-m),又|x1-x2|min=3,所以当k-m=0时,即k=m,又02,则有2-=3,解得=6.故选D.10.(2015湖南,理10)某工件的三视图如图所示,现将该工件通过切割,加工成一个体积尽可能大的长方体新工件,并使新工件的一个面落在原工件的一个面内,则原工件材料的利用率为
7、材料利用率=新工件的体积原工件的体积()A.89B.169C.4(2-1)3D.12(2-1)3答案:A解析:由三视图知该工件是一个圆锥,其底面半径为1,高为2,故体积V1=13122=23.由圆及矩形的对称性可知当长方体体积最大时,其底面一定为正方形,设其边长为x(0x2),长方体的高为h,则有22x1=2-h2,所以h=2-2x,则长方体体积V=x2h=x2(2-2x)=2x2-2x3,所以V(x)=4x-32x2,令V(x)=0得x=223或x=0(舍去),因当0x223时,V(x)递增,而当223x1,所以e=5.14.(2015湖南,理14)设Sn为等比数列an的前n项和,若a1=1
8、,且3S1,2S2,S3成等差数列,则an=.答案:3n-1解析:设等比数列an的公比为q,则an=a1qn-1=qn-1.因为3S1,2S2,S3成等差数列,所以2(2S2)=3S1+S3,即4S2=3+S3,即4(a1+a2)=3+(a1+a2+a3),也就是4(1+q)=3+(1+q+q2),整理得q2-3q=0,解得q=3或q=0(舍去).所以等比数列an的首项为a1=1,公比为q=3,故an=3n-1.15.(2015湖南,理15)已知函数f(x)=x3,xa,x2,xa.若存在实数b,使函数g(x)=f(x)-b有两个零点,则a的取值范围是.答案:(-,0)(1,+)解析:要使函数
9、g(x)=f(x)-b有两个零点,应使f(x)图象与直线y=b有两个不同的交点.当0a1时,由f(x)的图象知f(x)在定义域R上单调递增,它与直线y=b不可能有两个交点.当a0时,由f(x)的图象(如图)知,f(x)在(-,a上递增,在(a,0)上递减,在0,+)上递增,且a30,所以,当0b1时,由f(x)的图象(如图)知,f(x)在(-,a上递增,在(a,+)上递增,但a3a2,所以当a2ba3时,f(x)图象与y=b有两个不同的交点.综上,实数a的取值范围是a1.三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16.(2015湖南,理16)(本小题满分12
10、分)本小题设有,三个选做题,请考生任选两题作答,并将解答过程写在答题卡中相应题号的答题区域内.如果全做,则按所做的前两题计分.(本题满分6分)选修4-1:几何证明选讲如图,在O中,相交于点E的两弦AB,CD的中点分别是M,N.直线MO与直线CD相交于点F.证明:(1)MEN+NOM=180;(2)FEFN=FMFO.证明:(1)如图所示,因为M,N分别是弦AB,CD的中点,所以OMAB,ONCD,即OME=90,ENO=90,因此OME+ENO=180.又四边形的内角和等于360,故MEN+NOM=180.(2)由(1)知,O,M,E,N四点共圆,故由割线定理即得FEFN=FMFO.(本题满分
11、6分)选修4-4:坐标系与参数方程已知直线l:x=5+32t,y=3+12t(t为参数).以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为=2cos .(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)设点M的直角坐标为(5,3),直线l与曲线C的交点为A,B,求|MA|MB|的值.解:(1)=2cos 等价于2=2cos .将2=x2+y2,cos =x代入即得曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2x=0.(2)将x=5+32t,y=3+12t代入,得t2+53t+18=0.设这个方程的两个实根分别为t1,t2,则由参数t的几何意义即知,|MA|MB|=|t1t2|=18.(本题满分6分)选修4-5:不等式选讲设a0,b0,且a+b=1a+1b,证明:(1)a+b2;(2)a2+a2与b2+b0,b0,得ab=1.(1)由基本不等式及ab=1,有a+b2ab=2,即a+b2.(2)假设a2+a2与b2+b2同时成立,则由a2+a0得0a1;同理,0b1,从而
