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1、 Revised as of 23 November 2020版北师大九年级上数学教案课程讲义重要第1章 特殊的平行四边形1,1 菱形的性质与判定一、教学目标：1、菱形的性质定理的运用2菱形的判定定理的运用二、教学重点难点：掌握菱形的性质推导及面积计算方法的推导，运用综合法解决菱形的相关题型。三、概念：菱形性质：1 两条对角线互相垂直平分；2 四条边都相等；3 每条对角线平分一组对角；4 菱形是一个中心对称图形，也是一个轴对称图形。菱形的判定定理：1、有一组邻边相等的平行四边形是菱形（定义）2、对角线互相垂直的平行四边形是菱形（根据对角线）3、四条边都相等的四边形是菱形（根据四条边）4、每条对
2、角线平分一组对角的四边形是菱形（对角线和角的关系）四、讲课过程：1、 例题、例1.（2006?大连）已知：如图，四边形ABCD是菱形，E是BD延长线上一点，F是DB延长线上一点，且DE=BF请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只须证明一组线段相等即可）（1）连接AF；（2）猜想：AF=AE；（3）证明：（说明：写出证明过程的重要依据）考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质。专题：几何综合题。分析：观察图形应该是连接AF，可通过证AFB和ADE全等来实现AF=AE解答：解：（1）如图，连接AF；（2）AF=AE；（3）证明：四边
3、形ABCD是菱形AB=AD，ABD=ADB，ABF=ADE，在ABF和ADE中ABFADE，AF=AE点评：此题考查简单的线段相等，可以通过全等三角形来证明例2、（2009?贵阳）如图，在菱形ABCD中，P是AB上的一个动点（不与A、B重合），连接DP交对角线AC于E连接BE（1）证明：APD=CBE；（2）若DAB=60，试问P点运动到什么位置时，ADP的面积等于菱形ABCD面积的，为什么？考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质。专题：证明题；动点型。分析：（1）可先证BCEDCE得到EBC=EDC，再根据ABDC即可得到结论（2）当P点运动到AB边的中点时，SADP=S
4、菱形ABCD，证明SADP=AB?DP=S菱形ABCD即可解答：（1）证明：四边形ABCD是菱形BC=CD，AC平分BCD（2分）CE=CEBCEDCE（4分）EBC=EDC又ABDCAPD=CDP（5分）EBC=APD（6分）（2）解：当P点运动到AB边的中点时，SADP=S菱形ABCD（8分）理由：连接DBDAB=60，AD=ABABD等边三角形（9分）P是AB边的中点DPAB（10分）SADP=AP?DP，S菱形ABCD=AB?DP（11分）AP=ABSADP=AB?DP=S菱形ABCD即ADP的面积等于菱形ABCD面积的（12分）点评：此题主要考查菱形的性质和等边三角形的判定，判断当P
5、点运动到AB边的中点时，SADP=S菱形ABCD是难点例3、（2010?宁洱县）如图，四边形ABCD是菱形，BEAD、BFCD，垂足分别为E、F（1）求证：BE=BF；（2）当菱形ABCD的对角线AC=8，BD=6时，求BE的长考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质。分析：（1）根据菱形的邻边相等，对角相等，证明ABE与CBF全等，再根据全等三角形对应边相等即可证明；（2）先根据菱形的对角线互相垂直平分，求出菱形的边长，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半和底边乘以高两种求法即可求出解答：（1）证明：四边形ABCD是菱形，AB=CB，A=C，BEAD、BFCD，AEB=CFB=90，在ABE
6、和CBF中，ABECBF（AAS），BE=BF（2）解：如图，对角线AC=8，BD=6，对角线的一半分别为4、3，菱形的边长为=5，菱形的面积=5BE=86，解得BE=点评：本题主要考查菱形的性质和三角形全等的证明，同时还考查了菱形面积的两种求法例3、（2011?广安）如图所示，在菱形ABCD中，ABC=60，DEAC交BC的延长线于点E求证：DE=BE考点：菱形的性质。专题：证明题。分析：由四边形ABCD是菱形，ABC=60，易得BDAC，DBC=30，又由DEAC，即可证得DEBD，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得DE=BE解答：证明：法一：如右图，连接BD，四边形ABCD
7、是菱形，ABC=60，BDAC，DBC=30，DEAC，DEBD，即BDE=90，DE=BE法二：四边形ABCD是菱形，ABC=60，ADBC，AC=AD，ACDE，四边形ACED是菱形，DE=CE=AC=AD，又四边形ABCD是菱形，AD=AB=BC=CD，BC=EC=DE，即C为BE中点，DE=BC=BE点评：此题考查了菱形的性质，直角三角形的性质等知识此题难度不大，注意数形结合思想的应用例4.（2010?益阳）如图，在菱形ABCD中，A=60，AB=4，O为对角线BD的中点，过O点作OEAB，垂足为E（1）求ABD的度数；（2）求线段BE的长考点：菱形的性质。分析：（1）根据菱形的四条边
8、都相等，又A=60，得到ABD是等边三角形，ABD是60；（2）先求出OB的长和BOE的度数，再根据30角所对的直角边等于斜边的一半即可求出解答：解：（1）在菱形ABCD中，AB=AD，A=60，ABD为等边三角形，ABD=60；（4分）（2）由（1）可知BD=AB=4，又O为BD的中点，OB=2（6分），又OEAB，及ABD=60，BOE=30，BE=1（8分）点评：本题利用等边三角形的判定和直角三角形30角所对的直角边等于斜边的一半求解，需要熟练掌握2、 巩固练习1.有一组邻边相等的平行四边形是_.ABCDO2.菱形的两条对角线长分别是8 cm和10 cm,则菱形的面积是_.3.菱形的两邻
9、角之比为1：2，边长为2，则菱形的面积为_.4.菱形的面积等于（ ）（20分）A.对角线乘积B.一边的平方 C.对角线乘积的一半 D.边长平方的一半5.下列条件中，可以判定一个四边形是菱形的是（ ）（20分）A.两条对角线相等B.两条对角线互相垂直C.两条对角线相等且垂直D.两条对角线互相垂直平分6.菱形的两条对角线把菱形分成全等的直角三角形的个数是（ ）（20分）A 1个 B 2个 C 3个 D 4个7.如图，四边形ABCD是菱形，ABC=120，AB=6cm，则ABD=_，DAC的度数为_；对角线BD=_，AC=_；菱形ABCD的面积为_（20分）8、在矩形ABCD中，O是对角线AC的中点
10、，EF是线段AC的中垂线，交AD、BC于E、F.求证：四边形AECF是菱形（20分）OABCD9、如图，在菱形ABCD中，AB=BD=5，求：（1）BAC的度数；（2）求AC的长。10、四边形ABCD是矩形，四边形AECF是菱形，若AB=2cm，BC=4cm，求四边形AECF的面积。11、在菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且CE=CF，过点C做CGEA交FA于H ，交AD于G，若BAE=25，BCD=130，求AHC的度数。3、作业：一、选择题。1、已知菱形两个邻角的比是1:5，高是8cm，则菱形的周长是（ ）。A. 16cm B. 32cm C. 64cm D. 128cm2、
11、已知菱形的周长为40 cm，两对角线长的比是3:4，则两对角线的长分别是（ ）。A. 6cm、8cm B. 3cm、4cm C. 12cm、16cm D. 24cm、32cm3、如图：在菱形ABCD中，AEBC，AFCD，且E、F分别为BC、CD的中点，那么EAF等于（ ）。A. 75 B. 60 C. 45 D. 304、棱形的周长为，相邻两角之比为5：1，那么菱形一组对边之间的距离为（ ）A、 B、 C、 D、5、菱形具有而矩形不具有的性质是 ( )A对角相等 B四边相等 C对角线互相平分 D四角相等6、ABCD的对角线AC、BD相交于点O，下列条件中，不能判定ABCD是菱形的是（ ）。A
12、. AB=AD B. ACBD C. A=D 平分BCD7、下列命题中，真命题是（ ）。A. 对角线相等且互相垂直的四边形是菱形。B. 有一条对角线平分一组对角的四边形是平行四边形。C. 对角线互相垂直的矩形是菱形。D. 菱形的对角线相等。8、菱形是轴对称图形，对称轴有（ ）。A1条 B2条 C3条 D4条9、已知菱形的两条对角线长为10cm和24cm, 那么这个菱形的周长为_, 面积为_.10、将两张长10cm宽3cm的长方形纸条叠放在一起, 使之成60度角, 那么重叠部分的面积的最大值为_.11、一个菱形面积为80, 周长为40, 那么两条对角线长度之和为_.12、已知菱形ABCD中，E、
13、F分别在BC和CD上，且B=EAF=60，BAE=15，求CEF的度数。13、已知：如图，在菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且CE=CF。过点C作CGEA交AF于H，交AD于G，若BAE=25，BCD=130，求AHC的度数。14、如图所示，已知菱形ABCD中E在BC上，且AB=AE，BAE=EAD，AE交BD于M，试说明BE=AM。15、 如图，在ABC中，AB=BC，D、E、F分别是BC、AC、AB上的中点，（1）求证四边形BDEF是菱形。（2）若AB=12cm，求菱形BDEF的周长？16、已知：如图，ABC中，BAC的平分线交BC于点D，E是AB上一点，且AE=AC，EFBC交AD于点F，求证：四边形CDEF是菱形。17. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与AD、BC、AC分别交于点E、F、O，求证：四边形AFCE是菱形。18、已知：如图，C是线段BD上一点，ABC和ECD都是等边三角形，R、F、G、H分别是四边形ABDE各边的中点，求证：四边形RFGH是菱形。19、如图，已知在ABC中，AB=AC
