《初高中数学衔接教材 §2.3 方程与不等式(含答案)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《初高中数学衔接教材 §2.3 方程与不等式(含答案)（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.3 方程与不等式2.3.1 二元二次方程组解法方程 是一个含有两个未知数,并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程,这样的方程叫做二元二次方程。其中,叫做这个方程的二次项,叫做一次项,6叫做常数项。我们看下面的两个方程组： 第一个方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的，第二个方程组是由两个二元二次方程组成的，像这样的方程组叫做二元二次方程组。下面我们主要来研究由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组的解法。一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组一般可以用代入消元法来解。例1 解方程组分析：二元二次方程组对我们来说较为生疏，在解此方程组时，可以将其转化为我们熟悉
2、的形式。注意到方程是一个一元一次方程，于是，可以利用该方程消去一个元，再代入到方程，得到一个一元二次方程，从而将所求的较为生疏的问题转化为我们所熟悉的问题。解：由,得x2y2， 把代入,整理,得8y28y0，即y(y1)0。解得y10，y21。 把y10代入,得x12；把y21代入,得x20。 所以原方程组的解是；说明：在解类似于本例的二元二次方程组时，通常采用本例所介绍的代入消元法来求解。例2解方程组解法一：由，得 把代入，整理，得解这个方程，得。把代入，得；把代入，得。所以原方程的解是；解法二：对这个方程组，也可以根据一元二次方程的根与系数的关系，把看作一个一元二次方程的两个根，通过解这个
3、一元二次方程来求。这个方程组的是一元二次方程的两个根，解这个方程，得，或。所以原方程组的解是；练习1下列各组中的值是不是方程组的解?（1） （2） （3） （4） 2解下列方程组:（1） （2） （3） （4）2.3.2 一元二次不等式解法二次函数yx2x6的对应值表与图象如下：xO23yx2x6yy0y0y0图2.31由对应值表及函数图象(如图2.31)可知x32101234y60466406当x2，或x3时，y0，即x2x60；当x2，或x3时，y0，即x2x60；当2x3时，y0，即x2x60。这就是说，如果抛物线y= x2x6与x轴的交点是(2，0)与(3，0)，那么一元二次方程x2x
4、60的解就是x12，x23；同样，结合抛物线与x轴的相关位置，可以得到一元二次不等式x2x60的解是x2，或x3；一元二次不等式x2x60的解是2x3。上例表明：由抛物线与x轴的交点可以确定对应的一元二次方程的解和对应的一元二次不等式的解集。那么，怎样解一元二次不等式ax2bxc0(a0)呢？我们可以用类似于上面例子的方法，借助于二次函数yax2bxc(a0)的图象来解一元二次不等式ax2bxc0(a0)。为了方便起见，我们先来研究二次项系数a0时的一元二次不等式的解。我们知道，对于一元二次方程ax2bxc0(a0)，设b24ac，它的解的情形按照0，=0，0分别为下列三种情况有两个不相等的实
5、数解、有两个相等的实数解和没有实数解，相应地，抛物线yax2bxc（a0）与x轴分别有两个公共点、一个公共点和没有公共点(如图2.32所示)，因此，我们可以分下列三种情况讨论对应的一元二次不等式ax2bxc0（a0）与ax2bxc0（a0）的解。xyOx1x2xyOx1= x2yxO图2.32（1）（1）当0时，抛物线yax2bxc（a0）与x轴有两个公共点(x1，0)和(x2，0)，方程ax2bxc0有两个不相等的实数根x1和x2(x1x2)，由图2.32可知不等式ax2bxc0的解为xx1，或xx2；不等式ax2bxc0的解为x1xx2。（2）当0时，抛物线yax2bxc（a0）与x轴有且
6、仅有一个公共点，方程ax2bxc0有两个相等的实数根x1x2，由图2.32可知不等式ax2bxc0的解为x； 不等式ax2bxc0无解。（3）如果0，抛物线yax2bxc（a0）与x轴没有公共点，方程ax2bxc0没有实数根，由图2.32可知不等式ax2bxc0的解为一切实数；不等式ax2bxc0无解。今后，我们在解一元二次不等式时，如果二次项系数大于零，可以利用上面的结论直接求解；如果二次项系数小于零，则可以先在不等式两边同乘以1，将不等式变成二次项系数大于零的形式，再利用上面的结论去解不等式。例3 解不等式：（1）x22x30； （2）xx260； （3）4x24x10；（4）x26x90
7、； （5）4xx20。 解：（1）0，方程x22x30的解是x13，x21。不等式的解为3x1。（2）整理，得x2x60。0，方程x2x6=0的解为x12，x23。原不等式的解为x2，或x3。（3）整理，得(2x1)20。上式对任意实数x都成立，原不等式的解为一切实数。（4）整理，得(x3)20。由于当x3时，(x3)20成立；而对任意的实数x，(x3)20都不成立，原不等式的解为x3。（5）整理，得x2x40。0，所以，原不等式的解为一切实数。例4已知不等式的解是求不等式的解。解：由不等式的解为，可知，且方程的两根分别为2和3，即。由于，所以不等式可变为 ，即整理，得所以，不等式的解是x1，
8、或x。说明：本例利用了方程与不等式之间的相互关系来解决问题。例5 解关于的一元二次不等式为实数)。分析 对于一元二次不等式,按其一般解题步骤,首先应该将二次项系数变成正数,本题已满足这一要求,欲求一元二次不等式的解,要讨论根的判别式的符号,而这里的是关于未知系数的代数式, 的符号取决于未知系数的取值范围，因此,再根据解题的需要,对的符号进行分类讨论。解: ,当 所以,原不等式的解集为 或；当0，即a2时，原不等式的解为x；当为一切实数 。 综上,当a2，或a2时，原不等式的解是 或；当为一切实数。图2.33yO21xaxxyO21xaxyO21xa例6函数yx22ax1(a为常数)在2x1上的
9、最小值为n，试将n用a表示出来。分析：由该函数的图象可知，该函数的最小值与抛物线的对称轴的位置有关，于是需要对对称轴的位置进行分类讨论。解：y(xa)21a2， 抛物线yx22ax1的对称轴方程是xa。(1)若2a1，由图2.33可知,当xa时，该函数取最小值n1a2；(2)若a2时, 由图2.33可知, 当x2时，该函数取最小值n4a+5；(3)若a1时, 由图2.33可知, 当x1时，该函数取最小值n2a+2。综上,函数的最小值为练习1解下列不等式：（1）3x2x40； （2）x2x120；（3）x23x40； （4）168xx20。2.解关于x的不等式x22x1a20（a为常数）。习题2
10、3 A 组1解下列方程组：（1） （2）（3） （4）2解下列不等式：（1）3x22x10； （2）3x240；（3）2xx21； （4）4x20。B组1取什么值时,方程组有一个实数解?并求出这时方程组的解。2解关于x的不等式x2(1a)xa0（a为常数）。C 组1.关于x不等式2x2bxc0的解为x1，或x3。试解关于x的不等式bx2cx40。2试求关于x的函数yx2mx2在0x2上的最大值k。答案：2.3 方程与不等式 2.3.1 二元二次方程组解法练习1.（1）（2）是方程的组解； （3）（4）不是方程组的解。2（1）（2） （3） （4） 2.3.2 一元二次不等式解法练 习1（1）x
11、1，或x； （2）3x4； （3）x4，或x1；（4）x4。2不等式可以变为(x1a)( x1a)0，（1）当1a1a，即a0时，1ax1a；（2）当1a1a，即 a0时，不等式即为(x1)20，x1；（3）当1a1a，即a0时，1ax1a。 综上，当a0时，原不等式的解为1ax1a；当a0时，原不等式的解为x1； 当a0时，原不等式的解为1ax1a。习题23A 组1（1） （2） （4）（3）2（1）无解（2） （3）1x1 （4）x2，或x2 B 组1消去，得。当,即时，方程有一个实数解。将代入原方程组，得方程组的解为2不等式可变形为(x1)(xa)0。当a1时，原不等式的解为1xa；当a1时，原不等式的无实数解；当a1时，原不等式的解为ax1。C 组1由题意，得 1和3是方程2x2bxc0的两根， 13，13， 即b4，c6。 等式bx2cx40就为4 x26x40，即2 x23x20，x2。2yx2mx2(x)22 ，当02，即0m4时，k2 ；当0，即m0时，k2；当2，即m4时，k2m2。
