《专题2.11 圆锥曲线-定点、定值、定直线问题（解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题2.11 圆锥曲线-定点、定值、定直线问题（解析版）（29页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题2.11 圆锥曲线-定点、定值、定直线问题1定点问题解决步骤：（1）设直线代入二次曲线方程，整理成一元二次方程；（2）根与系数关系列出两根和及两根积；（3）写出定点满足的关系，整体代入两根和及两根积；（4）整理（3）所得表达式探求其恒成立的条件2定值、取值范围（最值）问题的基本思路：（1）假设直线方程，与圆锥曲线方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式；（2）利用求得变量的取值范围，得到根与系数关系的形式；（3）利用根与系数关系表示出所求量，将所求量转化为关于变量的函数的形式；（4）化简所得函数式，消元可得定值或利用函数值域的求解方法求得取值范围（最值）1设椭圆的左、右焦点分别为、，为椭
2、圆上的点，且，（1）求椭圆的标准方程；（2）设过椭圆右焦点且斜率为的动直线与椭圆相交于、两点，探究在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，试求出定值和点的坐标；若不存在，请说明理由【试题来源】2021年新高考数学二轮复习讲义 分层训练【答案】（1）；（2）存在，定值为，定点为【分析】（1）利用余弦定理结合三角形的面积公式可求得的值，求出的值，由、三者的关系可求得的值，进而可得出椭圆的标准方程；（2）设点、，设直线的方程为，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出根与系数关系，设点，利用平面向量数量积的坐标运算可得出关于、的表达式，根据已知条件求出的值，由此可得出结论【解析】（1）在中，可得，由余弦定
3、理，可得，又，则，因此，椭圆的标准方程为；（2）设点、，设直线的方程为，联立，消去可得，由根与系数关系可得，假设轴上存在定点，使得为定值为定值，所以，解得，此时，因此，在轴存在定点，使得为定值【名师点睛】求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值2设常数在平面直角坐标系xOy中，已知点F(2，0)，直线l：x=t，曲线：，与x轴交于点A、与交于点BP、Q分别是曲线与线段AB上的动点（1）用t表示点B到点F距离；（2）设，线段OQ的中点在直线FP上，求的面积；（3）设t=8，是否存在以FP、FQ
4、为邻边的矩形FPEQ，使得点E在上？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由【试题来源】2021年高三数学二轮复习讲练测（ 文理通用）【答案】（1）；（2）；（3）存在，【分析】（1）方法一：设出点坐标，根据两点间距离公式求解出的值，方法二：根据抛物线的定义，即可求得的值；（2）根据抛物线的性质，求得点坐标，即可求得的中点坐标，即可求得直线的方程，代入抛物线方程，即可求得点坐标，则的面积可求；（3）设坐标，根据求得直线的方程和点坐标，再根据求得点坐标，则根据可求得点坐标【解析】（1）方法一：由题意可知设，则，所以；法二：由题意设，由抛物线的性质可知，所以；（2），则，所以，所以，设的中点，所以
5、，则直线方程：，联立，整理得，解得，（舍去），所以的面积；（3）存在，设，则且，所以，直线方程为，所以，因为四边形为矩形，所以，则，所以，解得，即，所以存在以、为邻边的矩形，使得点在上，且【名师点睛】解答本题第三问的关键在于利用矩形的两个特点去分析问题：（1），由此可知，利用坐标完成计算；（2）平行四边形法则，由此可知向量关系式3已知椭圆C：y21的右焦点为F，过点F的直线(不与x轴重合)与椭圆C相交于A，B两点，直线l：x2与x轴相交于点H，过点A作ADl，垂足为D（1）求四边形OAHB(O为坐标原点)的面积的取值范围（2）证明：直线BD过定点E，并求出点E的坐标【试题来源】【高频考点解密】
6、2021年新高考数学二轮复习讲义 分层训练【答案】（1）；（2）证明见解析，定点E【分析】（1）直线AB的方程代入椭圆C，结合根与系数关系得两根关系，求出四边形OAHB面积表达式，根据基本不等式求得取值范围；（2）由点坐标写出直线BD的方程的表达式，令y0，求出的表达式，结合（1）中两根关系进行化简计算得到定值即可【解析】（1）由题设知F(1，0)，设直线AB的方程为xmy1(mR)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去x并整理，得(m22)y22my10，则y1y2，y1y2，所以|y1y2|所以四边形OAHB的面积S|OH|y1y2|2令t，则，所以S，因为t2(当且仅当t1，即m0
7、时取等号)，所以0S，故四边形OAHB的面积的取值范围为；（2）由B(x2，y2)，D(2，y1)，可知直线BD的斜率k，所以直线BD的方程为yy1 (x2)，令y0，得x由（1）知，y1y2，y1y2，所以y1y22my1y2将代入，化简得x，所以直线BD过定点E【名师点睛】求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值4已知抛物线的焦点恰好是椭圆的一个焦点，点在椭圆上，且的最大值为（1）求椭圆的标准方程；（2）若过抛物线上的一点能作椭圆的两条互相垂直的切线，求此时的值【试题来源】2021届新高
8、考同一套题信息原创卷（三）【答案】（1）；（2）【分析】（1）通过抛物线的焦点坐标求出椭圆的焦半径，再利用的最大值即可求出长半轴，进而求出椭圆的方程；（2）先设出过点的坐标及过点的直线方程，并与椭圆方程联立，由判别式的值为，得出、的关系，再与抛物线方程联立，即可求出的值，进而求出的值【解析】（1）由已知得，得又的最大值为，故，即，所以椭圆的标准方程为（2）若过点作椭圆的两条切线分别与两坐标轴垂直，则，此时点不在抛物线上所以，切线的斜率必定存在，设，则过点的直线方程为，联立，得，由，得，因为两条切线的斜率、是关于的一元二次方程的两个根，所以，故联立，解得（舍负），故【名师点睛】本题考查利用椭圆的
9、两切线求参数，解题的关键在于将两切线的斜率转化为关于的二次方程，利用根与系数关系求得点的轨迹方程，进而求解5已知圆，点，P是圆E上一点，线段PF的垂直平分线与直线EP相交于点Q（1）若m=2，点P在圆E上运动时，点Q的轨迹是什么？说明理由；（2）若m=1，点P在圆E上运动时，点Q的轨迹记为曲线C过E点作两条互相垂直的直线，与曲线C交于两点A、B，与曲线C交于两点C、D，M为线段AB的中点，N为线段CD的中点试问，直线MN是否过定点？若过定点，并求出该定点的坐标，若不过定点，请说明理由【试题来源】江苏省苏州市八校联盟2021届高三下学期第三次适应性检测【答案】（1）点Q的轨迹是以E，F为焦点的双
10、曲线；答案见解析；（2）直线MN恒过定点【分析】（1）根据题意做出示意图，由双曲线的定义分析点Q的轨迹是双曲线，根据线段长度求出双曲线的方程即可（2）类比第（1）问，分析得到点Q的轨迹是椭圆，再将点点M，N的坐标用参数表示出来，进而将直线MN的方程用参数表示出来，由直线方程分析直线过定点即可【解析】（1）m=2时，点F在圆E外，由Q是线段PF的垂直平分线与直线EP的交点，又点Q在线段PE外，故有，于是有，又由，即，由双曲线定义知点Q的轨迹是以E，F为焦点的双曲线（2）当时，同（1）可得，故Q点的轨迹C是以E，F为左右焦点的椭圆，又，故曲线C方程设，当时，直线MN与x轴重合，由，消去得，因点E在
11、椭圆内，所以有恒成立，且，由点在直线上，即因直线相互垂直，故可设，同理可得（）若，则有，此时，直线MN方程：则有，化简整理得此时直线MN恒过点（）若，则有，此时，或此时直线MN过点；综上可知直线MN恒过定点【名师点睛】（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形6在直角坐标系中，曲线的点均在外，且对上任意一点，到直线的距离等于该点与圆上点的距离的最小值（1）求曲线的方程；（2）设为圆外一点，过作圆的两条切线，
12、分别与曲线相交于点、和、证明：当在直线上运动时，四点、的纵坐标之积为定值【试题来源】2021年高三数学二轮复习讲练测【答案】（1）；（2）证明见解析【分析】（1）分析可知，曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线，进而可求得曲线的方程；（2）设的坐标为，设过且与圆相切的直线的斜率存在且不为，分析可知切线、的斜率、为关于的二次方程的两根，可得出，设四点、的纵坐标分别为、，联立直线与抛物线的方程，可得出的表达式，进一步可得出的表达式，由此可计算得出结果【解析】（1）由题设知，曲线上任意一点M到圆心的距离等于它到直线的距离，因此，曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线，故曲线的方程为；（2）当点在直线上运动时
13、，的坐标为，又，则过且与圆相切的直线的斜率存在且不为，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为，即，于是，整理得，设过所作的两条切线、的斜率分别为、，则、是关于的方程的两个实根，故，由，得，设四点、的纵坐标分别为、，则、是方程的两个实根，所以，同理可得，于是由三式得所以当在直线上运动时，四点、的纵坐标之积为定值【名师点睛】求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值7已知等轴双曲线的顶点，分别是椭圆的左、右焦点，且是椭圆与双曲线某个交点的横坐标（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆相交于，两点，
14、以线段为直径的圆过椭圆的上顶点，求证：直线恒过定点【试题来源】2021届新高考同一套题信息原创卷（六）【答案】（1）；（2）证明见解析【分析】（1）由双曲线和椭圆，之间的等量关系求出椭圆方程；（2）设直线：，将直线方程和椭圆方程联立，根据根与系数关系及，求出的值，从而证得直线恒过定点【解析】（1）由已知可得双曲线方程为因为，所以交点为设椭圆的方程为，代入，得，所以椭圆的方程为（2）证明：显然直线与轴不垂直设直线：与椭圆：相交于，由得，所以，因为，所以，即，所以，整理得，即因为，整理得，所以，所以直线恒过定点【名师点睛】本题考查双曲线方程、椭圆方程、直线与椭圆的位置关系，本题以圆锥曲线为背景，解题的关键是掌握双曲线方程的求法、椭圆方程的求法和直线与椭圆的位置关系，体现了数学运算和逻辑推理的核心素养8设椭圆的离心率为，点在椭圆上椭圆的左、右焦点分别为，过点作两条不重合的直线，分别与椭圆交于点，且过点（1）求椭圆的方程；（2）若直线的斜率为，直线的斜率为，请问：是否存在实数，使得？若存在，求的值；若不存在，请说明理由【试题来源】2021届新高考同一套题信息原创卷（四）【答案】（1）；（2）存在，【分析】（1）利用椭圆离心率，点在
