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1、专题强化训练试卷三 平面向量及其应用 (基础篇）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.设分别是与同向单位向量，则下列结论中正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题,分别是与同向的单位向量,即,故,即选项C正确；因为的方向未知,故选项A,B,D不正确,故选:C2.中，已知，则等于()A. B. C. D. 【答案】【解析】在中，由正弦定理得，所以，又，因此，所以答案：3.中所在的平面上的点满足，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】因为，所以，所以，故选：D4.如图，设点在河两岸，一测量者在的同侧所在的
2、河岸边选定一点测出两点间的距离为，则两点间的距离为（ ）mA. B. C. D. 【答案】C【解析】在中,，则由正弦定理得 ，所以 m.故选：C.5.已知的内角所对的边分别为，且满足，则该三角形为（ ）A. 等腰三角形 B. 等腰直角三角形 C. 等边三角形 D. 直角三角形【答案】D【解析】由，即，化简得，所以为直角三角形故选：6.我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作数书九章中，提出了已知三角形三边长求三角形的面积的公式，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实一为从隔，开
3、平方得积”若把以上这段文字写成公式，即，其中a、b、c分别为内角A、B、C的对边.若，则面积S的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】，则sinC（sinBcosC+cosBsinC）sin（B+C）sinA，由正弦定理得ca，b2，ABC的面积 ，当即a2时，ABC的面积S有最大值为故选：C7.设的内角所对的边分别为，若三边的长为连续的三个正整数，且，则为（ ）A. 432B. 567C. 543D. 654【答案】D【解析】因为a，b，c为连续的三个正整数，且ABC，可得ac2，bc1 又因为3b20acosA，由余弦定理可知cosA，则3b20a 联立，化简可得7c21
4、3c600，解得c4或c (舍去)，则a6，b5.又由正弦定理可得，sinAsinBsinCabc654.故选：D.8.在锐角中，为边上的一点，若，若，则的值为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】 由，则 ，又因为 ，所以（1）设，则，在中，由余弦定理可知 同理在中，因为与互补，所以，即，化简可得，由代入（1）式化简可得 。故选：B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9.已知，如下四个结论正确的是（ ）A. ；B. 四边形为平行四边形；C. 与夹角的余弦值为；D. 【答案】BD【解析
5、】由，所以， ,对于选项A，故A错误；对于选项B，由，则，即与平行且相等，故B正确； 对于选项C，故C错误；对于选项D，故D正确；故选：BD10.在中，若，则可能为（ ）A B. C. D. 【答案】AD【解析】由正弦定理可得：，则，故：，由则或.故选：AD.11.是边长为的等边三角形，已知向量，满足，则下列结论中正确的是（ ）A. 为单位向量 B. C. D. 【答案】ACD【解析】是边长为的等边三角形，已知向量，满足，对于选项A，则，所以，即是单位向量，A正确；对于选项B， 由，得，故，夹角为，故B错误；对于选项C，因为，所以，C正确；对于选项D， ，故D正确故选：ACD12.下列关于平面
6、向量的说法中正确的是（ ）A设，为非零向量，则“”是“”的充要条件B设，为非零向量，若，则，的夹角为锐角C设，为非零向量，则D若点G为的重心，则【答案】AD【解析】对于选项A，因为所以“”是“”的充要条件，A正确；对于选项B，若，则，的夹角为锐角或零角，B错误；对于选项C，表示与共线的向量，表示与共线的向量，所以两者不一定相等，故C错误；对于选项D，如图，设BC的中点为D，因为G为的重心，所以，即，D正确.故选：AD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.在锐角中，则_.【答案】【解析】因为，所以由正弦定理得，又，所以，因为，所以.故答案为：14.已知平面向量，则与的夹角为_.【答
7、案】【解析】，.设与的夹角为，则，因此，与的夹角为.故答案为：.15.已知分别是的内角的对边，则角的大小为_；若，则面积的最大值为_【答案】 ； 【解析】因为，由正弦定理得，由余弦定理得，因为，所以；因为，并由（1）得，所以，所以，当时取等号，所以所以的最大值是.故答案为：； 16.ABC中，点M是边BC的中点，则_.【答案】【解析】因为点M是边BC的中点，所以（），又因为，所以（）（）（），故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.已知向量，满足，的夹角为.（1）若，求的值；（2）若，求的最小值.【答案】(1)0;(2)【解析】（1），.（2）
8、当时，.当时，取得最小值.18.在中，已知，.(1)求的长;(2)求的值.【答案】(1)；(2)【解析】（1）在中.已知，.由余弦定理可得：；（2）由正弦定理可得：，又，.19. 如图，在中，分别在边上，且满足，为中点（1）若，求实数的值；（2）若，求边的长【答案】（1）（2）6【解析】（1）因为，所以，所以，所以，（2）因为，所以，设，因为，所以，又因为，所以，化简得，解得(负值舍去)，所以的长为620.如图，警察甲骑电瓶车从出发，以的速度沿方向巡逻.已知，.（1）警察甲需要多少分钟达到处？（结果保留两位小数）（2）警察甲出发后，警察乙开警车以的速度沿方向巡逻，试问：甲、乙两人谁先达到处？参
9、考数据：，.【答案】（1）；（2）警察乙先到达处.【解析】（1）在三角形中，所以，因为，所以由正弦定理可知因为所以因为，所以所以.（2）在三角形中，余弦定理知得.在三角形中，由，所以所以警察乙先到达处.21.在中，角，的对边分别为，若.（1）求角的大小；（2）设的中点为，且，求的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由题意得，即则，所以.（2）设，则中，由可知由正弦定理及可得所以，所以由可知，所以当，即时，的最大值为.22. 如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上一点，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC，设.（1）当时，求四边形OACB的面积；（2）求线段OC长度最大值，并指出此时的值.【答案】（1）（2）3【解析】（1）当时，所以（2），所以，由正弦定理得，即，所以，所以 ，由余弦定理得，因为，所以当时，取得最大值3.
