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1、曲面与曲线,一、曲面的方程,二、曲线的方程,三、二次曲面,柱体的表面、探照灯的反射面等,曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹,曲面方程的定义：,曲面的实例：,一、曲面的方程1. 曲面方程的概念,研究空间曲面有两个基本问题：,（2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状,（讨论旋转曲面）,（讨论柱面、二次曲面）,（1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程,定义,以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面.,这条定直线叫旋转 曲面的轴,播放,2. 旋转曲面,定义,以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面.,这条定直线叫旋转 曲面的轴,2.
2、旋转曲面,定义,以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面.,这条定直线叫旋转 曲面的轴,2. 旋转曲面,定义,以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面.,这条定直线叫旋转 曲面的轴,2. 旋转曲面,旋转过程中的特征：,如图,将 代入,将 代入,得方程,求旋转曲面的方程技巧,1) 在曲线C 的方程,中，只要将y改成,z不变，,同理, 曲线C绕y轴旋转所成的旋转曲面的方程为：,便得曲线C绕z轴旋转所成的旋转曲面的方程.,2）xoy 面上的曲线C ：,绕 x 轴,绕 y 轴,3）zox 面上的曲线C ：,绕x轴,绕z轴,解,圆锥面方程,
3、例6 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程,旋转椭球面,旋转抛物面,播放,定义,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,3.柱面,这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线.,柱面举例,抛物柱面,平面,从柱面方程看柱面的特征：,例,解,例:,母线平行于y轴的双曲柱面， 准线为,其他类推.,例:,抛物柱面 / 轴,思考题1,指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形？,思考题1解答,平面解析几何中,空间解析几何中,斜率为1的直线,方程,空间曲线的一般方程,曲线上的点都满足方程，满足方程的点都在曲线上，不在曲线上的点
4、不能同时满足两个方程.,空间曲线C可看作空间两曲面的交线.,特点：,二、曲线的方程1.曲线的一般方程,例1 方程组 表示怎样的曲线？,解,表示圆柱面，,表示平面，,交线为椭圆.,例2 方程组 表示怎样的曲线？,解,上半球面,圆柱面,交线如图.,空间曲线的参数方程,2.曲线的参数方程,动点从A点出发，经过t时间，运动到M点,螺旋线的参数方程,取时间t为参数，,解,螺旋线的参数方程还可以写为,螺旋线的重要性质：,上升的高度与转过的角度成正比 即,上升的高度,螺距,消去变量z后得：,曲线关于 的投影柱面,设空间曲线的一般方程：,以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面.,投影柱面的特征：,3. 空间
5、曲线在坐标面上的投影,类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影,面上的投影曲线,面上的投影曲线,空间曲线在 面上的投影曲线,例4 求曲线 在坐标面上的投影.,解,（1）消去变量z后得,在 面上的投影为,所以在 面上的投影为线段.,（3）同理在 面上的投影也为线段.,（2）因为曲线在平面 上，,补充: 空间立体或曲面在坐标面上的投影.,空间立体,曲面,例6,解,半球面和锥面的交线为,一个圆,二次曲面的定义：,三元二次方程所表示的曲面称之为二次曲面,相应地，平面被称为一次曲面,讨论二次曲面的形状用所谓的截痕法：,用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从
6、而了解曲面的全貌,三、二次曲面,（一）椭球面,椭球面与三个坐标面的交线：,（二）抛物面,1. 椭圆抛物面:,（ 与 同号）,2. 双曲抛物面（马鞍面）,（ 与 同号）,（三）双曲面,1. 单叶双曲面,2. 双叶双曲面:,定义,三、柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线.,定义,三、柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线.,定义,三、柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲
7、面称为柱面.,这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线.,定义,三、柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线.,定义,三、柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线.,定义,三、柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线.,定义,三、柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线.,定义,三、柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线.,定义,三、柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线.,定义,三、柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线.,
