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1、函数极限的定义,第三节 函数极限的定义,函数极限的定义,一、函数在有限点处的极限,在上节中，我们讨论了数列的极限. 而我们又知道数 列是一种特殊的函数定义在正整数集上的函数. 那 么一般函数的极限又应该如何定义呢？这一节我们将全 面引入函数极限的定义.,函数极限的定义,引例 设函数,尽管函数在点 处没有定义，,但当 无限趋近于1而不等于1时，,相应 无限趋近于2.,函数极限的定义,或,定义 设函数 在点 的某个空心邻域中有定义， 如果存在常数 ，使得对于任意给定的正数 ，总存在 正数 ， 对于满足 的一切 ，都有,那么常数 就称作函数 当 时的极限，记 为,函数极限的定义,函数极限 的几何意义
2、,对于任意 ，,对满足 的一切 ，,都有,总存在正数 ，,函数极限的定义,例 函数,注1：函数 在点 处的极限与函数在这一点是否有,定义、或 为多少毫无关系，它所反映的是 在,则有,该点附近的变化趋势.,函数极限的定义,经过不等式的变形，得到关系,注2: 函数 在点 的极限的定义说明了如何去证明,其中 是一个与 无关的常量. 再取 ，则当,函数 在点 的极限为 的方法：对于 考虑,时，有：,函数极限的定义,此即说明,函数极限的定义,例1 证明下列极限,证 因,所以, , 取 ，当 时，可使,故,函数极限的定义,因,欲使 即,所以 不妨取 此时令,则当 时，有,因而,函数极限的定义,例2 证明,
3、证 因,所以, , 取 ，当 ，可使,所以,函数极限的定义,例3 证明,证 因,为能解出不等式 ，要对 进行适当的控制，,为此限定 的变化范围为 ，此时有,所以, , 取 ，当 时 ，,可使,所以,函数极限的定义,证 因,例4 证明,取 即 所以,所以, , 取 ，当 时 ，,函数极限的定义,所以,函数极限的定义,证 因,例5 设 ，证明,所以, , 取 ，当 时 ，,可使,所以,函数极限的定义,左右极限,考虑函数:,是当 在该点两侧趋近于 时，函数有一个确定的变化,趋势. 但某种情况下，函数在两侧的趋势是不同的，,这就需要分别加以讨论.,前面讨论的是函数 在某一点 的极限，它反映的,函数极限
4、的定义,该函数在点 两侧的变化趋势是不同的:,当 在 0 的右侧趋近于 0 时，,当 在 0 的左侧趋近于 0 时，,这就导出左右极限的概念.,函数极限的定义,那么 称作 在 处的左极限，记为,左极限定义：若 当 时，,使得,那么 称作 在 处的右极限，记为,右极限定义：若 当 时，,使得,或,或,函数极限的定义,容易证明：,例如：,定理 极限 存在的充分必要条件是 在点,处的左右极限存在并且相等. 即,存在 均存在，且,函数极限的定义,解 因,例6 说明极限 不存在.,所以极限 不存在.,函数极限的定义,二、函数在无穷远处的极限,定义 设函数 在 时有定义， 为常数.,若 ， ，当 时，使得
5、,则 称为函数 在 时的极限，记为,或,若 ， ，当 时，使得,则 称为函数 在 时的极限，记为,或,函数极限的定义,若 ， ，当 时，使得,则 称为函数 在 时的极限，记为,或,函数极限的定义,例7 证明,证 因,所以, , 取 ，当 时 ，使得,所以,函数极限的定义,例8 证明,证 因,只要 ，即,所以, , 取 ，当 时 ，使得,所以,类似可证,函数极限的定义,证 因,例9 证明,所以, , 取 ，当 时 ，使得,所以,函数极限的定义,例10 证明,所以, , 取 ，当 时 ，使得,证 因,当 时，则有不等式,函数极限的定义,所以,函数极限的定义,三、极限的性质,函数极限的定义,即： 在
6、 的某个空心邻域内有界.,定理1 (局部有界性)如果极限 存在 ，,证 设 ，由定义，对 存在,当 ，即 有,那么在 的某个空心邻域内，函数 有界.,函数极限的定义,证 设 ，由定义，对 存在,当 时，有 从而,定理 (有界性)如果极限 存在 ，那么存在,取 ，则对所有的 ，有,使得对所有的 ，有,函数极限的定义,定理2 (极限的保号性)如果 ，则存在点,的某个空心邻域内，使得在该邻域中有：,证 设 ，由定义，对 存在,当 时，有,函数极限的定义,定理2 (保号性)如果 ，则存在正整数,当 时，有：,推论 在 的某个空心领域中，有 且,则,注意：如果推论的条件改成 （严格大于），则,不能推出 例如 时 但,函数极限的定义,证 设 ，则 当 时，,定理3(函数极限与数列极限的关系),则此数列相应的函数值数列 收敛，且,设 存在，又设 是函数 定义域中的,一个任意数列， 且,函数极限的定义,由条件 故对 ，当 时，有,即,因而,即,函数极限的定义,此定理的一个实际意义是：,使其函数值数列收敛到两个不同的值，即,如果能够找到自变量的两个不同子列,则说明函数在这一点无极限.,函数极限的定义,所以 不存在.,例 证明函数 在 时极限不存在.,证 令,则,但,函数极限的定义,对于数列，有,定理 设 存在，则对于 的任一子列,用此定理，即可说明数列 的极限不存在.,有,
