《【最新】高中数学-高二数学精品教案:2.1 1 随机变量(选修2-3)》由会员分享,可在线阅读,更多相关《【最新】高中数学-高二数学精品教案:2.1 1 随机变量(选修2-3)(31页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、随机变量及其分布2.1 随机变量一、 概念对于随机试验:E甲,乙两人同时向某目标射击一次中靶情况 E: ,X表示射击中靶的次数,对应的取值为;0,1,2。 定义:随机变量是定义在样本空间S=上的一个单值实函数,记作X=X(),简记为X。二、 分类1、 离散型随机变量2、 非离散型随机变量2.2 离散型随机变量一.离散型随机变量的分布设离散型随机变量可能取的值为:取这些值的概率为P(X=i)= pi ,i=1,2,. (2.1) 称(2.1)式为离散型随机变量X的分布律。(2.1)式也可以用表格的形式表示如下: X P 上述表格称为离散型随机变量X的分布列,分布列也可以表示成下列矩阵的形式: 离
2、散型随机变量的分布律,分布列(以及下一节介绍的分布函数)统称为离散型随机变量的概率分布,简称为离散型随机变量的分布。 根据概率的性质,可知离散型随机变量的分布律具有下列性质(1)pi0,i=1,2,.(2)常见的几种分布1、 单点分布例: 若随机变量X只取一个常数值C,即P(X=C)=1,则称X服从单点分布。(也叫退化分布。)2、0-1分布例: 若随机变量X只能取两个数值0或1,其分布为 X 0 1 P q p0p 1,q=1-p,或记为P()=pkq1-k ,k=0,1则称X 服从参数为p 的两点分布或参数为p的0-1分布。3、 几何分布例: 一射手每次打靶射击一发子弹,打中的概率为p(0p
3、0,则称X服从参数为l的泊松分布,记为。2 泊松Poisson定理P41, 设有一列二项分布XB(), n=1, 2, .,如果 , 为与n无关的正常数,则对任意固定的非负整数k,均有 证略。例5:P43.例6:P44,自学。 2.3 随机变量的分布函数一、概念定义2.1 设X是一随机变量(不论是离散型还是非离散型),对任意的实数,令 (2.11)则称F()为X的分布函数。例1:(书上例2.8) 设X服从参数为p的(0-1)分布,即:,= 0,1,其中0p1,q=1-p.求X的分布函数F().例: 设R.V. X的分布函数为 求X的概率分布。二、性质性质1 若12,则F(1)F(2).即F()
4、是的单调不减函数。性质2 对任意的实数,均有 0 F()1 (2.15)且 (2.16) (2.17)性质3 对任意的实数0,有 (2.18)即F()在轴上处处右连续。 证明见P-44. 性质4 若F()在X=0处连续,则P(X=0)=0性质5 P(aXb)=F(b)-F(a)例: 设R.V.X的分布为 确定A ,且求P(-12) 2.4 连续型随机变量一、 定义2.2 设随机变量X的分布函数为F(),如果存在一个非负可积函数f(),使对任意的实数,均有 F()= (2.20)则称X是连续型随机变量,称f()是X的概率密度或密度函数,简称密度。二、图形例如:正态分布密度函数图形:data no
5、rmal;do i=-3 to 3 by 0.01;z0=exp(-i*2/2)/sqrt(2*(3.1415926);output;end;run;proc gplot data=normal;plot z0*i=1 ;symbol1 v=none i=join r=1 c=black;run;分布函数图形:data normal;do x=-3 to 5 by 0.01;y=PROBNORM(x);output;end;run;proc gplot data=normal;plot y*x=1 ;symbol1 v=none i=join r=1 c=black;run;三、性质性质1 f
6、()0 (2.21)性质2 (2.22)性质3 P(a0,且很小时,有 P(0.1指数分布:例:(第一版)设R.V. (1)确定常数A;(2)写出X的分布函数F(); (3)P。例:(第一版) 已知随机变量 (1) 确定A和B;(2)求;(3)求二、均匀分布例:设R.V.,称X在,b上服从均匀分布。(1)确定k。(2)求P(aXa+s)(aaa+sb)。(3)写出X的分布函数F()。 定义:若随机变量X的概率密度为 则称X在上服从均匀分布,记为XUa,b,相应的分布函数为 一般地,设是轴上一些不相交的区间之和,若的概率密度为 则称X在D上服从均匀分布。如果,则对于满足的任意的,有 = (2.3
7、2)三、指数分布若随机变量X的概率密度为 (2.33)其中常数,则称X服从参数为l的指数分布,相应的分布函数为 (2.34)例:(第一版书上例2.12) 经过长期的观测,对某些电子元件的寿命可作如下假定:在已使用了th的条件下,在以后的Dth内损坏的概率为,其中l是不依赖于t的常数;电子元件寿命为零的概率是零,求电子元件在内损坏的概率。略四、正态分布 1、定义: 若随机变量X的概率密度为 , (2.35)其中都为常数且,则称X服从参数为的正态分布,记为,有时也简称X为正态随机变量。X的分布函数为 (2.36)2、 验证 3、 作出的图形 ,得驻点,得, 作图SAS程序:data normal;
8、do i=-3 to 3 by 0.01;z0=exp(-i*2/2)/sqrt(2*(3.1415926);output;end;run;proc gplot data=normal;plot z0*i=1 ;symbol1 v=none i=join r=1 c=black;run;注意:一定要和由正态随机数区别开来。如下面产生的是正态随机数。data normal; retain _seed_ 0; do _i_ = 1 to 1000; z = 0 + 1 * rannor(_seed_); output; end; drop _seed_ ;run;proc gplot data=n
9、ormal;plot z*_i_=1 ;symbol1 v=none i=join r=1 c=black;run;4、 性质:(1) f(x)的图形是关于直线x=m对称的曲线(2) 为最大值,当x远离m时,f(x)0(3) 当m固定而s变化时对图形的影响,s小 大,分布曲线在形成陡峭的高峰。s大小,分布曲线在变成缓峰。m=2, s=0.5, 1, 2data normal;do i=-2 to 6 by 0.01;z0=exp(-(i-2)*2/2)/sqrt(2*(3.1415926);z1=exp(-(i-2)*2/(2*0.25)/(0.5*sqrt(2*(3.1415926);z2=
10、exp(-(i-2)*2/(2*4)/(2*sqrt(2*(3.1415926);output;end;proc gplot data=normal;plot z0*i=1 z1*i=1 z2*i=1 /overlay ;symbol1 v=none i=join r=1 c=black;run;m=2, s=0.5, 1, 2, 5, 10图形:data normal;do i=-5 to 9 by 0.01;z0=exp(-(i-2)*2/2)/sqrt(2*(3.1415926);z1=exp(-(i-2)*2/(2*0.25)/(0.5*sqrt(2*(3.1415926);z2=exp(-(i-2)*2/(2*4)/(2*sqrt(2*(3.