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1、向量的共线问题 证明共线问题常用的方法. （1）向量 共线 存在唯一实数,使 (2)向量 =(x1,y1), =(x2,y2)共线 x1y2-x2y1=0; (3)向量 与 共线 (4)向量 与 共线 存在不全为零的实数1,2，使,【例1】已知A(-1,1),B(1,5),C(-2,-5),D(4,7),试判断两线 段 是否共线？ 【审题指导】题目中给出了四个点的坐标，由此可得两向量 的坐标表示.要判断 是否共线，首先看是否 满足 ，再说明线段AB与CD是否有公共点.,【规范解答】 =(2,4), =(-1,-6), -14-(-6)2=-4+12=80. 不共线，即点C不在直线AB上，同理点
2、D也不在直线AB上，直线AB与CD不共线，即线段AB与CD不共线.,【例2】已知 =(1,2), =(-3,2).若 平行，求实数k的值. 【审题指导】本题考查由两向量的共线求参数的问题，要求学生熟练掌握两向量共线的条件.通过两向量共线可得坐标的关系，列出等式，求得参数的值.,【规范解答】方法一：向量 平行，则存在唯一实数，使 =k(1,2)+2(-3,2) =(k-6,2k+4). =2(1,2)-4(-3,2)=(14,-4), (k-6,2k+4)=(14,-4). 即实数k的值为-1.,方法二： =k(1,2)+2(-3,2)=(k-6,2k+4), =2(1,2)-4(-3,2)=(
3、14,-4), 平行， （k-6）(-4)-(2k+4)14=0. 解得k=-1.,向量的夹角和垂直问题 1.两向量的夹角公式. 非零向量 =(x1,y1), =(x2，y2)的夹角为，则有 2.两向量垂直的条件.,要分清两向量垂直的条件和两向量平行的条件坐标表示的区别.,【例3】设两个向量 ，满足 |=2,| |=1, 的夹角为 ，若向量 的夹角为钝角，求实数t的范围. 【审题指导】题目中给出向量的夹角以及 =2和| |=1 等条件，由公式cos= 可得若为钝角，则cos 0且cos-1，即 0.同时也应注意向量的共线反向这 一情况.,【规范解答】由已知 为钝角，2t2+15t+70,得-7
4、t . 又由 t的取值范围是（-7， ）( , ).,【例4】求证：ABC的三条高线交于一点. 【审题指导】证明本题的关键是先找出其中两条高线的交点，然后让另一个顶点与该点的连线与其对边垂直.,【规范解答】如图，已知AD，BE，CF是ABC的三条高，设BE，CF交于点H，且令 可得 因为 所以 所以 运算并化简得,所以 又ADBC且AHAD=A, 所以A、H、D三点共线， 所以AD，BE，CF相交于一点H. 即ABC的三条高交于一点.,向量模的问题 解决向量模的问题常用的策略 （1）应用公式： = (其中 =(x,y); （2）应用三角形或平行四边形法则； （3）应用向量不等式 (4)研究模的
5、平方,【例5】 【审题指导】本题主要考查向量的模的运算及向量数量积的 运算，可以用平方求解法，也可以由 =1，设出 的坐标，化为坐标运算.,【规范解答】方法一：,方法二：设 =(x1,y1), =(x2,y2), =1,x12+y12=x22+y22=1. =(3x1-2x2,3y1-2y2), = =3, x1x2+y1y2= , ,待定系数法解决向量问题 待定系数法在向量中的应用 待定系数法是数学中一种非常重要的方法，对于某些数学问题，若已知所求结果具有某种确定的形式，则可引入一些尚待确定的系数（或参数）来表示这样的结果，通过变形比较，建立起含有待定字母系数（或参数）的方程（组），并求出相
6、应的字母（或参数）的值，进而使问题获解，这种方法称为待定系数法，在向量中，这种方法也被广泛应用，如平行向量基本定理、平面向量基本定理就是这种方法的体现形式.,【例6】如图，在ABC中，M是BC的中点， N在AC上且AN=2NC，AM与BN交于点P， 求APPM的值. 【审题指导】题目中给出了M点是ABC 的边BC的中点，AC边上的点N满足AN=2NC，欲求APPM的值， 可适当选取基底表示出 因为点A、P、M共线，若有 则为APPM的值.,【规范解答】 A、P、M与B、P、N共线, APPM=41.,平面向量的应用 平面向量两个方面的应用 (1)在平面几何中的应用. 向量的加法运算和全等、平行
7、，数乘向量和相似，距离、夹角和数量积之间有着密切联系，因此利用向量方法可以解决平面几何中的相关问题. (2)在物理中的应用. 主要解决力、位移、速度等问题.,【例7】已知正方形ABCD,E、F分别是CD、AD的中点，BE、CF交于点P. 求证：（1）BECF；（2）AP=AB. 【审题指导】本题欲求证线段垂直和相等，可转化为向量的垂直和向量的模相等问题.已知正方形ABCD，可建系设点，把向量用坐标表示出来，用向量的有关知识解决.,【规范解答】如图建立平面直角坐标系xOy，其中A为原点，不妨设AB=2， 则A(0,0),B(2,0),C(2,2), E(1,2),F(0,1). (1) =(1,
8、2)-(2,0)=(-1,2)， =(0,1)-(2,2)=(-2,-1)， =-1(-2)+2(-1)=0， 即BECF.,（2）设P(x,y)，则 =（x,y-1）, =(-2,-1)， -x=-2(y-1)，即x=2y-2. 同理由 ，得y=-2x+4,代入x=2y-2.,【例8】如图所示，求两个力 的合力 的大小（精确到0.1 N）和 方向（精确到分）. 【审题指导】题中给出两个力的大小 及夹角的数值，欲求合力，可利用向量的加法运算，在三角形中解决.,【规范解答】设 =(a1,a2), =(b1,b2), 则a1=300cos30259.8, a2=300sin30=150.0， b1
9、=-200cos45-141.4, b2=200sin45141.4, 所以 =(259.8,150.0), =(-141.4,141.4), =(259.8,150.0)+(-141.4,141.4) =(118.4,291.4),设 与x轴的正向夹角为, 则tan= 2.461 1. 由 的坐标知是第一象限的角，所以6753. 所以两个力的合力是314.5 N，与x轴的正方向的夹角为6753，与y轴的夹角为227.,1.设平面向量 =（3,5）, =（-2,1）,则 =( ) （A）（7，3）（B）（7,7）（C）（1,7）（D）（1,3） 【解析】选A. =(3,5)-2(-2,1)=(
10、3,5)-(-4,2)=(7,3).,2.给出下列各命题： （1）向量 的长度与向量 的长度相等； （2)向量 与向量 平行，则 与 的方向相同或相反； （3）两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； （4）两个有共同终点的向量，一定是共线向量； （5）向量 与向量 是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上； （6）有向线段就是向量，向量就是有向线段. 其中假命题的个数为( ) （A）2 （B）3 （C）4 （D）5,【解析】选C.抓住方向、长度、零向量，结合作图判断. （1）真命题. （2）假命题.若 与 中有一个为零向量时，其方向是不确定的. （3）真命题. （4）假命题.终点相
11、同并不能说明这两个向量的方向相同或相反. （5）假命题.共线向量所在的直线可以重合，也可以平行. （6）假命题.向量是用有向线段来表示的，但并不是有向线段.,3.已知 =(1,0), =(0,1),则与向量 垂直的一个向量 为( ) （A） （B） （C） （D） 【解析】选C.设 则 =0， 且 故2a+b=0，C项符合.,4.若 则=( ) （A） （B） （C） （D） 【解析】选 故=- .,5.已知直线ax+by+c=0与圆x2+y2=1相交于A、B两点，且 则 =_. 【解析】如图，作ODAB于D， 则在RtAOD中，OA=1， AD= ，所以AOD=60，AOB=120，所以 =
12、11(- )= . 答案:,6.已知向量 =( ,1), 是不平行于x轴的单位向量,且 则 =_. 【解析】设 =(m,n)，依题意有 又 不平行于x轴，故 答案:,7.如图，B、C是线段AD的三等分点，分别 以图中各点为起点和终点最多可以写出_个互不相等的非零向量. 【解析】可设AD的长度为3，那么长度为1的向量有6个，其中 长度为2的向量有4个，其中 长度为3的向量有2个，分别是 ， 所以最多可以写出6个互不相等的非零向量. 答案:6,8.已知 =(1,2), =(-2,n), 与 的夹角是45. (1)求 ; (2)若 与 同向,且 垂直,求 . 【解析】(1)由条件知, =（1，2）(-2,n)=-2+2n. -2+2n= cos45. 解得n=6. =(-2,6).,(2) 与 同向，可设 (0). 则 =(-2,6), =(-2-1,6-2). -2-1+(6-2)2=0， 解得= . =(-1,3).,则 =|3(cos,sin)+5(cos,sin)|2 =|(3cos+5cos,3sin+5sin)|2 =(3cos+5cos)2+(3sin+5sin)2 =34+30(coscos+sinsin)=34+30 54.,
