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1、上篇?数学文化题赏析?上篇?数学文化题赏析依托立体几何?传播数学文化? 湖北省武汉市黄陂区第六中学?梅?磊?中国古代数学取得了极其辉煌的成就?出现过刘徽?祖冲之?秦九韶等伟大的数学家?以及众多数学名著?其中?九章算术?和?数书九章?便是其中的代表作?这些中国古代数学名著是中华优秀传统文化的重要组成部分?中国古代数学遵循?经世济用? ?涉及的研究大多与实际生活?生产结合紧密?具有浓厚的实际背景?体现出明显的问题式?综合性和算法化的特征?立体几何是中国古代数学的一个重要研究内容?从中国古代数学中挖掘素材?考查立体几何的有关知识?既符合考生的认知水平?又可以引导考生关注中华优秀传统文化?这里从近年来
2、高考和模拟试卷中选取一些有关立体几何的数学文化题加以赏析?期望对大家有些许启示?例?我国古代数学名著? 九章算术? 中? 开立圆术?曰? 置积尺数? 以十六乘之? 九而一? 所得开立方除之? 即立圆径? 开立圆术? 相当于给出了已知球的体积? 求其直径?的一个近似公式? ?槡?人们还用过一些类似的近似公式?根据? ? ? ? ? ?判断下列近似公式中最精确的一个是? ?槡?槡? ? ? ? ?槡? ? ?槡? 分析?根据球的体积公式? 结合四个选项中的数据和精确度要求判断即可? 解析?由? ? 得?槡?设选项中常数为? 则?选项中常数代入得? ? ? ? ?选项中常数代入得?选项中常数代入得?
3、 ? ? ? ? ? ?选项中常数代入得? ? ? ? ? ? ? ?由于?选项中值最接近?的真实值? 故选? 赏析?球是最完美的几何体? 揭示球的直径与体积之间的关系是中国古代数学的重要研究内容?本题以? 九章算术? 中? 开立圆术? 为背景? 给出了?个历史上曾经使用过的关于球的直径与体积之间关系的近似公式?题目没有直接要求考生将?个公式与球的体积公式相比较? 判断公式的精确性? 而是采用了? 下列近似公式中最精确的一个是? 这种相对隐蔽的独特的设问方式? 要求考生自己去寻找判别方法? 渗透着对考生创新意识的考查?例? 九章算术? 商功章有题? 一圆柱形谷仓? 高?丈?尺?寸? 容纳米?
4、? ? ?斛?丈? ?尺?尺? ?寸? 斛为容积单位?斛? ? ?立方尺? ? 则圆柱底面圆周长约为? ?丈?尺? ?丈?尺? ?丈?尺? ? ?丈?尺? 分析?根据圆柱的体积公式? 结合题中圆柱的体积和高以及有关数据? 注意单位? 计算出圆柱的底面半径? 再根据圆的周长公式? 计算出圆柱底面圆周长? 解析?设圆柱底面圆半径为? 高为? 依题意? 圆柱体积为? 即? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以? ? 即?尺? 所以圆柱底面圆周长为? ? ?尺? 即圆柱底面圆周长约为?丈?尺?故选? 赏析?本题属于生产生活中谷物储存问题?源于? 九章算术? 第五章? 商功? ? 结合立体几何中的基础知
5、识进行设问? 强化了数学文化的传承和数学应用意识的培养?例? 算数书? 竹简于? ?世纪? ?年代在湖北省江陵县张家山出土? 这是我国现存最早的数学典籍? 其中记载有求? 盖? 的术? 置如其周? 令相乘也?又以高乘之? 三十六成一?该术相当于给出了由圆锥的底面周长?与 高? 计 算 其 体 积?的 近 似 公 式? ?它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率?近似取为?那么? 近似公式? ?相当于将圆锥体积公式中的?近似取为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 分析?根据题设所给的圆锥体积近似公式? ? 结合圆锥体积公式?计算即可? 解析?依题意?即? ? ? 从而? ?故选? 赏析?本题源于?
6、 算数书? ? 通过加工改造和加注解释的方式创设了类比推理的情境?试题充分体现了地域特色和数学文化?其实? 考生不看试题前面那一大段话? 直接根据试题最后一句所给的圆锥体积近似公式? ? 结合圆锥体积公式?计算即可得到正确答案?考生千万不要因为试题较长产生畏难情绪? 从而放弃作答?例? 九章算术? 是我国古代内容极为丰富的数学名著? 书中有如下问题? ? 今有委米依垣内角? 下周八尺? 高五尺?问? 积及为米几何? 其意思为? ? 在屋内墙角处堆放米? 如图? 米堆为一个圆锥的四分之一? ? 米堆底部的弧长为?尺?米堆的高为?尺? 问米堆的体积和堆放的米各为多少? 已知?斛米的体积约为? ?
7、?立方尺? 圆周率约为? 估算出堆放的米约有? ? ?斛? ? ?斛? ? ?斛? ? ?斛? 分析?根据米堆为一个圆锥的四分之一? 结合圆的周长公式? 圆锥的体积公式和题中有关数据计算即可? 解析?因为米堆为一个圆锥的四分之一? 由米堆底部的弧长为?尺? 可知圆锥底面圆的周长为? ?尺? 结合圆的周长公式? 可得圆锥底面半径为? ?尺?又米堆的高为?尺? 再结合圆锥的体积公式? 可得米堆的体积为? ? ? ?立方尺?再根据题设条件?斛米的体积约为? ? ?立方尺? 圆周率约为? 可估算出米堆约有? ?斛? 故选? 赏析?试题插图的创新是本题的一个亮点?其一增强了数学问题的生活化? 使数学的应
8、用更贴近学生的生活实际? 其二有利于考生分析问题和解决问题? 这对稳定学生在考试中的情绪和心态起到了较好的效果? 其三探索了高考数学试题插图的新形式? 给出了如何将抽象的数学问题现象化的范例?例?我国古代数学名著? 数书九章? 中有? 天池盆测雨? 题? 在下雨时? 用一个圆台形的天池盆接雨水?天上篇?数学文化题赏析?池盆盆口直径为二尺八寸? 盆底直径为一尺二寸? 盆深一尺八寸?若盆中积水深九寸? 则平地降雨量是寸? 注?平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积?一尺等于十寸?圆台体积公式? ? ? 分析?根据题设判断天池盆中积水形状为圆台形状? 结合题中有关数据判断此圆台的上? 下底面半径和高
9、? 再结合题后注释? 圆台体积公式和圆的面积公式计算即可? 解析?依题意? 天池盆中水的形状是一个上底半径? ?寸? 下底半径?寸? 高?寸的圆台? 从而平均降雨量为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 赏析?本题源于? 数书九章? ? 通过加工改造和加注解释的方式降低了理解题意的难度?试题体现了空间想象能力中? 无图想图? ? ? 无图作图? 的高层次要求? 有效地考查了考生提炼图形与应用图形的能力? 同时传播了数学文化?著名数学史专家钱宝琮先生对于? 数书九章? 中提到的? 天池盆? 作了高度的评价? 指出? ? 天池盆是世界文化史上最早出现的雨量器?例? 牟合方盖? 是我国古代数学
10、家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体?它由完全相同的四个曲面构成? 相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上? 好似两个扣合? 牟合? 在一起的方形伞? 方盖?其直观图如下左图? 图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线?其实际直观图中四边形不存在? 当其正视图和侧视图完全相同时? 它的正视图和俯视图分别可能是? 分析?观察题目所给直观图? 理解题干中有关? 牟合方盖? 的特征叙述? 结合? 当其正视图和侧视图完全相同时? 这个关键条件作答? 解析?当正视图和侧视图完全相同时? ? 牟合方盖? 相对的两个曲面正对前方? 正视图为一个圆?俯视图为一个正方形? 且具有两条实线的对角线?
11、故选? 赏析? 牟合方盖? 是我国古代利用立体几何模型和数学思想方法解决数学问题的代表之一?本题取材于? 牟合方盖? ? 通过添加解释和提供直观图的方式降低了理解题意的难度?试题从识? 图? 到想? 图? 再到构? 图? ? 考生要经历分析? 判断的逻辑过程?另外? 我国古代数学中的其他著名几何体? 如? 阳马? ? ? 鳖? 和? 堑堵? 等的三视图问题都有可能在高考中考查? 值得我们注意?例?在? ? ?平 面 上? 将 两个半圆弧? 和? ? 两条直线?和?围成的封闭图形记为?如图中阴影部分?记?绕?轴旋转一周而成的几何体为?过?作?的 水 平 截 面?所 得 截 面 积 为? ?槡?
12、?试利用一个平放的圆柱和一个长方体? 根据祖?原理得出?的体积值为? 分析?根据题设所给图形和? 所得截面积为? ?槡? ? 这个关键数据? 想象出题目提示的? 一个平放的圆柱和一个长方体? 的有关数据? 再根据祖?原理? 计算即可? 解析?因为几何体为?的水平截面的截面积为? ?槡? ? 该截面的截面积由两部分组成? 一部分为定值? ? 可看作是截一个底面积为? ?高为?的长方体得到的? 另一部分为? ?槡? 可看作是过一个半径为? 高为? ?的平放圆柱的弦? ? ?槡?的截面积? 如图所示?将这两个几何体与?放在一起? 根据祖?原理? 每个平行于水平面的截面积都相等? 故它们的体积相等?
13、即?的体积为? ? ? ? ? ? 赏析?祖?原理是我国古代数学家祖?提出的一个有关几何求积的著名定理? 祖?提出这个原理? 要比其他国家的数学家早一千多年?人教?版必修?教材专门介绍了祖?原理?本题取材于祖?原理? 考查体积计算? 既检测了考生的基础知识和基本技能? 又展示了中华民族的优秀传统文化?例? 九章算术? 中? 将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马? 将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖?如图? 在阳马? ? ? ? ? ?中?侧棱?底面? ? ? ? 且? ? 过 棱? ?的 中 点? 作? ? ?交? ?于 点? 连 接? ? ? ? ? 求证? ?平面?
14、? ? 试判断四面体? ? ? ?是否为鳖? 若是? 写出其每个面的直角? 只需写出结论? ? 若不是? 说明理由? 若平面? ? ?与平面? ? ? ?所成二面角的大小为? 求? ? ?的值? 分析?第? 问要证明? ?平面? ? ? 并判断四面体? ? ? ?是否为鳖? 突出考查了空间线面关系的关键问题? ? ?线面垂直? 利用空间线面关系的有关定理容易得到结论? 第? 问求? ? ?的值? 由已知? 平面? ? ?与平面? ? ? ?所成二面角的大小为? 注意到? ?平面? ? ?平面? ? ? ? 从而这两个平面的法向量是显然的? 问题便迎刃而解? 解析?解法?综合法? 因为?底面?
15、? ? ? 所以? ?由底面? ? ? ?为长方形? 有? ? ?而? ? 所以? ?平面? ? ?而? ?平面? ? ? 所以? ? ?又因为? ?是? ?的中点?所以? ? ?而? ? ? 所以? ?平面? ? ?而? ?平面? ? ? 所以? ? ?又? ? ? ? ? 所以? ?平面? ? ?由? ?平面? ? ? ?平面? ? ?可知? 四面体? ? ? ?的四个面都是直角三角形?即四面体? ? ? ?是一个鳖? 其四个面的直角分别为? ? ? ? ? ? ? ? ?图? 如图? 在平面? ? ?内? 延 长? ?与? ?交 于 点? 则? ?是平面? ? ?与平面? ? ? ?的交
16、线?由 ?知? ?平 面? ? ? 所以? ? ?又因为?底面? ? ? ? 所以? ?而? ? 所以? ?平面? ? ?故? ? ?是平面? ? ?与平面? ? ? ?所成二面角的平面角?设? ? ? 则? ?槡?在? ? ?中? 由? ? ? 得? ? ? ?则? ? ? ? ? ? ? ?槡?槡? ? 解得?槡? ?所以? ? ?槡?故当平面? ? ?与平面? ? ? ?所成二面角的大小为?时? ? ?槡?解法?向量法图? 如图? 以?为原点?射线? ?分别为?轴?轴?轴的正半轴? 建立空间 直 角 坐 标 系?设? ? ? 则? ? ? ? ? ? ?因为?是? ?的中点?所以? ?
17、? ?于是? ? ? ? ? 即? ? ?又已知? ? ? 而? ? ?所以? ?平面? ? ?因为? ? ? ? ? ? ? ?上篇?数学文化题赏析?则? ? ? 所以? ?平面? ? ?由? ?平面? ? ? ?平面? ? ? 可知四面体? ? ? ?的四个面都是直角三角形?即四面体? ? ? ?是一个鳖? 其四个面的直角分别为? ? ? ? ? ? ? ? ? 由?平面? ? ? ? 所以? ? 是平面? ? ? ?的一个法向量?由? 知? ?平面? ? ? 所以? ? ? 是平面? ? ?的一个法向量?若平面? ? ?与平面? ? ? ?所成二面角的大小为? 则? ? ? ? ? ?
18、? ? ?槡? 解得?槡? ?所以? ? ?槡?故当平面? ? ?与平面? ? ? ?所成二面角的大小为?时? ? ?槡? 赏析?本题是? ? ? ?年湖北省高考题? 以课本例题为原型改编而成?主要考查空间直线与平面的垂直以及二面角等基础知识? 同时考查空间想象能力和推理论证能力? 以及数形结合的思想和转化与化归的思想?考生可根据所给几何体的条件灵活选取? 综合法? 和? 向量法? 求解?由于已知条件中四棱锥的底面是长方形? 一条侧棱垂直于底面? 所以非常适合建立空间直角坐标系? 加之平面? ? ?的法向量与平面? ? ? ?的法向量都非常明显? 所以向量法比综合法明显简单一些?此外? 试题以
19、? 九章算术? 中研究立体几何所用的两个特殊锥体? 阳马? 鳖? 为背景? 可谓推陈出新? 给考生留下深刻的印象? ? 阳马? 和? 鳖? 这两个数学名词? 迅速在网上传播起来? 成为热门话题?例? 九章算术? 中? 将底面是直角三角形的直三棱柱称之为? 堑堵?已知某? 堑堵? 的三视图如图所示?正视图中的虚线平分矩形的面积? 则该? 堑堵? 的侧面积为? ?槡? ? ?槡? ? ?槡? ? ? 分析?仔细阅读和理解? 堑堵? 这个条件? 充分利用这个信息推断出该几何体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱? 最后运用矩形面积公式求出侧面积? 解析?依题意得? 该几何体的底面为等腰直角三角形? 两直角边长均为槡? 高为?的直三棱柱?所以其侧面积为?槡槡? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 故选? ? 赏析?该题命制以我国古代数学名著? 九章算术? 中所描述的特殊几何体? 堑堵? 为背景? 是一个新概念信息的信息迁移题?试题以三视图为依托? 在考查在空间想象能力的同时传播数学文化?
