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1、1复数的运算本资料为 WORD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址 人教版高中数学选修系列：4.2 复数的运算(备课资料)备课资料(一)补充例题例 1已知 f(z)=2z+z-3i,f(z+i)=6-3i,求 f(-z)的值.分析：欲求 f(-z)的值，说明 z 一定是一个常数，由已知所给的条件可观察出，实质上是通过复合函数的求法建立以 z 为变量的复数方程来求解 z.解： f(z)=2z+ -3i,f( +i)=2( +i)+ -3i=2 +z-2i,又 f( +i)=6-3i,2 +z-2i=6-3i,即 2 +z=6-i.设 z=a+bi(a、bR),则将 =a-bi 代入上式得 3a
2、-bi=6-i.由两复数相等的充要条件得 z=2+i.故 f(-z)=f(-2-i)=2(-2-i)+(-2+i)-3i=-6-4i.解题回顾：本题是牵涉面较广的一道题，我们在学习过程中，一2定要注意知识之间的横、纵联系.例 2已知复数 z1、z2 满足z1 =z2=1,z1+z2= ,求z1、z2 值.分析一：由已知z1=1 可设出 z1=a+bi(a、bR),代入z1+z2 求出 z2.再根据z2=1 又得出一实数方程，联立即可求解 .解法一：设 z1=a+bi(a、bR),则 a2+b2=1.z1+z2= ,z2= -a+( -b)i.z2=1, ,即 a+ b=1.将 a=1- b 代
3、入, 解得 b=0 或 .将 b=0 代入得 a=1;将 代入得 . 或 .分析二：从几何角度入手分析这个题，由于z1= z2=z1+z2=1 ，所以 z1、z2、z1+z2 所对应的点都在以原点为圆心，1 为半径的圆上.再结合 z1+z2 实部、虚部的特殊性不难从图中直接观察出 z1 或 z2.解法二：由z1 =z2=z1+z2=1,故 z1、z2、z1+z2均在3图 4-5单位圆上，如图, 由 z1+z2= + ,不难找出相应点为 Z.又因 z1+z2实部是 ,故图中 =6.又z1 = z2 =1，z1+z2 对应 ，又是和向量，所以可看出 z1=1 或 z2=1,即 或 解题回顾：（1）
4、对本题的解法一，若是设 z1=a+bi,z2=c+di,则a2+b2=1,c2+d2=1,再根据 z1+z2= 又得两个方程，这样，相当于解一个四元二次方程，变量设的太多，不利于解题，所以我们在解题时，注意巧设，尽量减少变量.(2)解法二由复数几何意义进行数形结合求解，是一种很重要的思维方法.例 3 （1）复数 z 满足z+5-12i =3,求 z 的轨迹；(2)复数 z 满足 2 z-3-3i=z,求 z 的轨迹；(3)已知z=2, 试求 z+3-4i 对应点的轨迹.（1）解：由z-z0意义可知z+5-12i=3 表示动点 Z 到定点 Z0 距离为定值 3，故 z 轨迹为以（-5+12i ）
5、对应点为圆心，3 为半径的圆.(2)解：本题由方程直接看不出 z 满足的条件，故可设z=x+yi(x、yR) ，代入 2z-3-3i=z得 到方程为(x-4)2+(y-4)2=8.故 z 轨迹为 以(4,4) 为圆心，22 为半径的圆.(3)解法一：设 =z+3-4i,=x+yi(x,yR),z=a+bi(a、bR).x+yi=a+3+(b-4)i.4 即 a2+b2=4,(x-3)2+(y+4)2=4.故 z 轨迹为以 (3,-4)为圆心，2 为半径的圆.解法二：设 =z+3-4i,则 z=-3+4i.z=2,-3+4i=2.故 z 轨迹为以 3-4i 对应点为圆心，2 为半径的圆.解题回顾
6、：（1）本题属于求轨迹问题. 方法与我们解析几何中求轨迹方法一样，有直接法、代入法和消参法.（2）对于（3）题的两种解法均为代入法，从上述解法可看出，有时就用复数直接代入还是很方便的.例 4已知z-(3-4i)-1=1 且 z3-4i.(1)求z的最大值和最小值；(2)求z-12+z+12 的最大值和最小值.(1)分析：由z的几何意义可知，只需弄清 z 的轨迹即可.解法一： z-(3-4i) -1=1 且 z3-4i,z-(3-4)i=2,z 轨迹如图 46,以 z0=3-4i 为圆心，2 为半径的圆.图 4-6故 z max=2+9+16=7,zmin=5-2=3.5分析：由模的性质z1-z
7、2 z1+z2 z1+z2 知，只要存在 使得 z-(3-4i)=(3-4i)(0 有最大值，0 有最小值) 即可.解法二：z =z-(3-4i) +(3-4i) z-(3-4i) +3-4i2+5=7, 当且仅当 z-(3-4i)=(3-4i)(0) 时，等号成立.z-(3-4i)=2,(3-4i)=2. ，即当 时，z max=7.又z=z-(3-4i)+(3-4i)z-(3-4i)-3-4i=2-5=3,当且仅当 z-(3-4i)=(3-4i)(0)时，等号成立，即 .当 时， zmin=3.解题回顾：本题可拓宽到求z-z1的最值，相当于在圆上求一点到 z1 对应点距离的最值，此时，不论
8、 z1 点与圆位置如何，均有z-z1max=z1-z0+r,z-z1min=z1-z0-r.(2)分析：此问题实质上是在圆上求一点 P，使 P 到两点（-1，0 ） 、（1，0）距离和最大.此问题，若用圆的参数方程解时较繁，此时可利用向量加、减法几何意义将问题转化为（1）来求解.图 4-76解：如图, 设 A（1，0 ） ，B （-1，0 ） ，在图上任取一点 P，以PA、PB 为邻边作平行四边形，则由模性质得PA 2+PB 2= AB2+(2OP )2= AB2+4OP2 ,而 AB2=4，欲求PA2+ PB 2 的最值，只需求OP2 最值即可.由（ 1）知OPmax=7,OPmin=3,故
9、 z-12+ z+12 最大值为 100，最小值为 20.解题回顾：本题可拓宽到求z-z12+ z-z22 的最值.设z1、z2 对应点仍为 A、B，线段 AB 中点为 C，则z-z12+z-z22= AB+4PC2,问题转化为在图上求点 P 到点 C的最大、最小值.（二）名篇欣赏对挖掘数学课本知识的实践与思考方均斌（浙江温州师范学院325027） 一个有经验的教师，应该对挖掘课本知识非常重视.笔者经常在各种中学数学杂志上看到诸如谈课本某某知识的挖掘 要重视课本知识的挖掘 要挖掘数学知识的思想方法等等之类的，笔者非常同意这些作者的观点.但在如何把握挖掘数学知识的度，挖掘的过程中应注意的事项以及
10、挖掘课本知识的策略方面，谈得不多.为此，笔者想借贵刊一角谈谈自己的一点想法，供大家参考.71.“典型、适时、有度”地挖掘充分调动学生的积极性1.1 “挖”得典型减轻负担要“ 挖”得典型， “挖”是为了教师今后“不挖” ，重在教会学生“如何挖”.数学发展到现在，已经形成一门体系庞大的科学，就算经过长期实践和论证而纳入中学生必须学习的数学知识，如果教师处理不当 ，也会让学生负担过重而苦不堪言.例如对每一个定理、公式都进行推广和变形的挖掘,由于这种挖掘都是教师一厢情愿下进行的，对学生来说是被动的，这些经教师挖掘出来的内容，将成为学生的一种新的负担.挖掘课本知识的根本目的在于让学生学会探索性学习，培养
11、他们的探索能力和创新精神，教师应教会学生掌握对问题采用诸如归纳、类比、演绎、映射与反演、普遍化和特殊化、开放性处理以及条件的变更等挖掘知识的方法,而并非是让学生掌握挖掘出来的知识，否则将增加学生的负担.因此，挖掘课本知识要选择典型的内容.那么到底哪些内容需要挖掘，哪些知识不需要挖掘呢？一般说来，这样的几个内容需要挖掘：（1）方法典型，培养学生的创新能力效果较好的内容；（2）思想蕴涵丰富的内容；（ 3）实际应用较广的内容；（4）对后续知识学习作用较大的内容 .当然，教师应着重考虑课程标准（或大纲）范围内的内容.例 1判断下列函数是否具有奇偶性：（高中数学第一册（上）试验修订本 必修 P61 例
12、4）（1）f(x)=x3+2x;(2)f(x)=2x4+3x2.该题教师要不要对奇偶函数经过四则运算后的函数奇偶性判断的8一般规律进行挖掘？笔者认为，需要挖掘.因为挖掘过程可以培养学生运用一般化的思想方法，而且学生也容易得出结论，对提高判断函数的奇偶性的速度大有好处.但是要让学生记住“非空公共定义域内非零奇函数与非零偶函数的和为非奇非偶函数” “非空公共定义域内奇函数和为奇函数”等等，恐怕就可能增加学生的不必要负担了. 其实学生如果记不住，只要简单推导一下就可以了.至于是否在讲解该例时就马上进行挖掘，恐怕还为时过早.笔者认为，应该在学生完成习题 2.3 第 7 题后的作业评讲或在小结课时进行总
13、结和挖掘较好. 如何把握好挖掘课本知识的时机是本文要讨论的另一个话题.例 2求下列两条直线的交点：（高中数学第二册（上）修订本 必修 P50 例 8）l1:3x+4y-2=0,l2:2x+y+2=0.有的教师感觉每一次都要求两条直线的交点较麻烦，干脆将一般化的方程组：(A1B2-A2B10)的通解 告诉学生，让学生记住结论.虽然这样做可以避免每一次都要解二元一次方程组的麻烦,但是增加了学生记忆公式的负担（因为该公式容易记混，尽管有些教师采用行列式帮助学生记忆） ，而且会削弱学生解一次方程组的变形能力.当然，学生如果自己产生挖掘的需要，那就另当别论了.教师应积极鼓励学生去挖掘，不要以高考不作要求
14、为由，阻止学生对课本知识的挖掘.因为学生探索新知识的兴趣和欲望是至关重要的.只要教师正确引导，相信一定能培养出具有强烈好奇心和探索能力的创新人才.91.2把握时机 恰到好处 判断哪些知识需要挖掘，需要较多的经验积累，而如何在恰当的时机进行挖掘，更需要教师有一个实践的过程.一般说来，刚传授的新知识不宜马上进行挖掘，需要学生有一个接触和熟悉新知识的过程. 这些新知识对学生来说是一片未开发的处女地，让学生在学习和熟悉新知识的过程中去感悟，给学生一点自由的开发时间和空间，教师最多只能做一些暗示、表扬等一些外围工作.此外，教师应充分感悟教材编者的意图，课本中的例题、练习、习题等陆续重复出现的类似问题和结
15、论，很可能是编者有意识地安排并暗示学生进行挖掘的内容，以培养学生的创新和发现能力.教师切勿在学生刚开始学习或在学习中途就一挖到底，来个赶尽杀绝！例 3如何处理以下来自教材（高中数学第二册（上）试验修订本 必修）的类题？ 1.求证： + 2 .（P12 例 6）2.求证：（ 1） + -2.(P17 习题 6.3 第 4 题)3.已知 a3,求证： - - .(P17 习题 6.3 第 5 题)4.已知 ab0,求证： - 1+ .(P30 复习参考题六 A 组第 7 题)这些都是“若 abcd0,且 a+d=b+c，则 + + ”的推论和变形.如果教师“一眼洞穿” ，刚开始或在中途将一般10规律给学生，并且给予证明，那么很可能将课本编者的意图付诸东流，对培养学生的探索和发现能力是一个败
