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1、1复数的加法与减法文 章来 源 课件 5Y k J.cO m 复数的加法与减法 教学目标(1)掌握复数加法与减法运算法则,能熟练地进行加、减法运算 ;(2)理解并掌握复数加法与减法的几何意义, 会用平行四边形法则和三角形法则解决一些简单的问题;(3)能初步运用复平面两点间的距离公式解决有关问题;(4)通过学习平行四边形法则和三角形法, 培养学生的数形结合的数学思想;(5)通过本节内容的学习,培养学生良好思维品质 (思维的严谨性,深刻性, 灵活性等).教学建议一、知识结构二、重点、难点分析本节的重点是复数加法法则。难点是复数加减法的几何意义。复数加法法则是教材首先规定的法则,它是复数加减法运算的
2、基础,对于这个规定的合理性,在教学过程中要加以重视。复数加减法的几何意2义的难点在于复数加减法转化为向量加减法,以它为根据来解决某些平面图形的问题,学生对这一点不容易接受。三、教学建议(1)在复数的加法与减法中,重点是加法.教材首先规定了复数的加法法则.对于这个规定, 应通过下面几个方面,使学生逐步理解这个规定的合理性:当 时,与实数加法法则一致;验证实数加法运算律在复数集中仍然成立;符合向量加法的平行四边形法则.(2)复数加法的向量运算讲解设 ,画出向量 , 后,提问向量加法的平行四边形法则,并让学生自己画出和向量(即合向量) ,画出向量 后,问与它对应的复数是什么,即求点 Z 的坐标 OR
3、 与 RZ(证法如教材所示).(3)向学生介绍复数加法的三角形法则.讲过复数加法可按向量加法的平行四边形法则来进行后,可以指出向量加法还可按三角形法则来进行:如教材中图 8-5(2)所示,求 与 的和,可以看作是求 与 的和.这时先画出第一个向量 ,再以 的终点为起点画出第二个向量 ,那么,由第一个向量起点 O 指向第二个向量终点 Z 的向量 ,就是这两个向量的和向量.(4)向学生指出复数加法的三角形法则的好处. 向学生介绍一下向量加法的三角形法则是有好处的:例如讲到当 与 在同一直线上时,求它们的和,用三角形法则来解释, 可能比“画一个压扁的平行四边形”来解释容易理解一些;讲复数减法的几何意
4、义时,用三角形法则也较平行四边形法则更为方便.3(5)讲解了教材例 2 后, 应强调 (注意:这里 是起点, 是终点) 就是同复数 - 对应的向量.点 , 之间的距离 就是向量 的模,也就是复数 - 的模, 即 .例如 ,起点对应复数-1、终点对应复数 的那个向量(如图),可用 来表示.因而点 与 ( )点间的距离就是复数 的模,它等于 。教学设计示例 复数的减法及其几何意义教学目标1.理解并掌握复数减法法则和它的几何意义.2.渗透转化, 数形结合等数学思想和方法, 提高分析、解决问题能力.3.培养学生良好思维品质( 思维的严谨性 ,深刻性,灵活性等).教学重点和难点重点 :复数减法法则.难点
5、 :对复数减法几何意义理解和应用.教学过程设计(一 )引入新课上节课我们学习了复数加法法则及其几何意义,今天我们研究的课题是复数减法及其几何意义.(板书课题:复数减法及其几何意义 )(二 )复数减法复数减法是加法逆运算,那么复数减法法则为( + i)-( + i)=( - )+( - )i,41.复数减法法则(1)规定 :复数减法是加法逆运算;(2)法则 :( + i)-( + i)=( - )+( - )i( , , , R).把 ( + i)-( + i)看成( + i)+(-1)( + i)如何推导这个法则.( + i)-( + i)=( + i)+(-1)( + i)=( + i)+(
6、- - i)=( - )+( - )i.推导的想法和依据把减法运算转化为加法运算.推导 :设( + i)-( + i)= + i( , R). 即复数 + i 为复数 + i 减去复数 + i 的差 .由规定,得( + i)+( + i)= + i,依据加法法则,得( + )+( + )i= + i,依据复数相等定义,得 故 ( + i)-( + i)=( - )+( - )i.这样推导每一步都有合理依据.我们得到了复数减法法则,两个复数的差仍是复数.是唯一确定的复数.复数的加( 减)法与多项式加 (减)法是类似的.就是把复数的实部与实部, 虚部与虚部分别相加( 减), 即( + i)( +
7、i)=( )+( )i.(三 )复数减法几何意义我们有了做复数减法的依据复数减法法则,那么复数减法的几何意义是什么?设 z= + i( , R),z1= + i( , R),对应向量分别为 , 如图 由于复数减法是加法的逆运算,设 z=( - )+( - )i,所以 z-z1=z2,z2+z1=z,由复数加法几何意义, 以 为一条对角线, 1 为一条边画平行四边形,那么这个平行四边形的另一边 2 所表示的向量 OZ2就与复数 z-z1 的差( - )+( - )i 对应,如图.5在这个平行四边形中与 z-z1 差对应的向量是只有向量 2 吗? 还有 . 因为 OZ2 Z1Z,所以向量 ,也与
8、z-z1 差对应.向量 是以Z1 为起点,Z 为终点的向量.能概括一下复数减法几何意义是:两个复数的差 z-z1 与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应.(四 )应用举例在直角坐标系中标 Z1(-2,5),连接 OZ1,向量 1 与多数 z1 对应,标点 Z2(3,2),Z2 关于 x 轴对称点 Z2(3,-2),向量 2 与复数对应,连接,向量与的差对应(如图).例 2 根据复数的几何意义及向量表示,求复平面内两点间的距离公式.解 :设复平面内的任意两点 Z1,Z2 分别表示复数 z1,z2,那么 Z1Z2就是复数对应的向量,点之间的距离就是向量的模,即复数 z2-z1 的模.如果用 d
9、 表示点 Z1,Z2 之间的距离,那么 d=|z2-z1|.例 3 在复平面内,满足下列复数形式方程的动点 Z 的轨迹是什么.(1)|z-1-i|=|z+2+i|;方程左可以看成|z-(1+i)|,是复数 Z 与复数 1+i 差的模. 几何意义是是动点 Z 与定点(1,1) 间的距离.方程右式也可以写成|z-(-2-i)|,是复数 z 与复数 -2-i 差的模,也就是动点 Z 与定点(-2,-1)间距离. 这个方程表示的是到两点(+1,1),(-2,-1)距离相等的点的轨迹方程, 这个动点轨迹是以点(+1,1),(-2,-1) 为端点的线段的垂直平分线 .6(2)|z+i|+|z-i|=4;方
10、程可以看成|z-(-i)|+|z-i|=4,表示的是到两个定点(0,-1)和(0,1)距离和等于 4 的动点轨迹 .满足方程的动点轨迹是椭圆 .(3)|z+2|-|z-2|=1.这个方程可以写成|z-(-2)|-|z-2|=1, 所以表示到两个定点(-2,0),(2,0)距离差等于 1 的点的轨迹 ,这个轨迹是双曲线. 是双曲线右支.由 z1-z2 几何意义 ,将 z1-z2 取模得到复平面内两点间距离公式d=|z1-z2|,由此得到线段垂直平分线, 椭圆、双曲线等复数方程 .使有些曲线方程形式变得更为简捷.且反映曲线的本质特征.例 4 设动点 Z 与复数 z= + i 对应,定点 P 与复数
11、 p= + i 对应.求(1)复平面内圆的方程;解 :设定点 P 为圆心,r 为半径,如图由圆的定义, 得复平面内圆的方程|z-p|=r.(2)复平面内满足不等式|z-p|r(rR+)的点 Z 的集合是什么图形?解 :复平面内满足不等式|z-p|r(rR+)的点的集合是以 P 为圆心,r 为半径的圆面部分(不包括周界).利用复平面内两点间距离公式,可以用复数解决解析几何中某些曲线方程.不等式等问题.(五 )小结我们通过推导得到复数减法法则,并进一步得到了复数减法几何意义, 应用复数减法几何意义和复平面内两点间距离公式,可以用复数研究解析几何问题,不等式以及最值问题.7(六 )布置作业 P193 习题二十七:2,3,8,9.探究活动 复数等式的几何意义复数等式 在复平面上表示以 为圆心,以 1 为半径的圆。请再举三个复数等式并说明它们在复平面上的几何意义。分析与解1. 复数等式 在复平面上表示线段 的中垂线。2. 复数等式 在复平面上表示一个椭圆。3. 复数等式 在复平面上表示一条线段。4. 复数等式 在复平面上表示双曲线的一支。5. 复数等式 在复平面上表示原点为 O、 构成一个矩形。说明 复数与复平面上的点有一一对应的关系,如果我们对复数的代数形式工(几何意义) 之间的关系比较熟悉的话,必然会强化对复数知识的掌握。复数的加法与减法文 章来 源 课件 5Y k J.cO m
