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1、第 1 页 共 8 页 暨 南 大 学 考 试 试 卷 得分 评阅人 一、 填空题 （共 7 小题 10 空 ，每空 2 分，共 20 分） 1. 把置换 表示成互不相交轮换的积是 (1 3 6 4) (2 5) ；表示成对换的积是 (1 3) (1 6) (1 4) (2 5) 。 2. 设 S 是非空有限集，代数系统（ P(S), ,）中， P(S)对运算的么元是_ _， P(S)对运算的么元是 _S_。 3. 无向图 G 中有 6 条边， 3 度与 5 度顶点各 1 个，其余的都是 2 度顶点，则图G中共有 _4_个顶点。 4. 无向图 G如右图所 示，则图 G的 割点为 _d_；割边为
2、 _e5_。 5. 设 f 为群 (G ,* ) 到群 ( H ,o ) 的同构映射， e 为 ( H ,o ) 的幺元，则 (G ,* ) 的幺元为 _ )(1ef _。 6. 设某有限布尔格共有 n 个原子，则该有限布尔格的元素个数是 _n2 _。 7. 图 G 的点连通度 k 、边连通度 l 和最小度 d 的大小关系是_ dlk _ 。 教 师 填 写 2012 2013 学年度第 _1_学期 课程名称： _代数结构与图论 _ 授课教师姓名： _ 陈双平 _ 考试时间 : _ _2013 _ _年 _1_月 _17_日 课程类别 必修 选修 考试方式 开卷 闭卷 试卷类别 答案 A 共
3、8 页 考 生 填 写 学院 (校 ) 专业 班 (级 ) 姓名 学号 内招 外招 题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总 分 得 分 1 2 3 4 5 6 3 5 6 1 2 4 a d c b e e2 e1 e3 e4 e5 暨南大学代数结构与图论试卷 A 卷 考生姓名、 学号： 第 2 页 共 8 页 得分 评阅人 二 、 选择题 （共 7 小题，每小题 2 分，共 14 分） 1. n阶 k度正则图的边数应为（ D ）。 A n(n-1)/2 B n C n(n+1) D nk/2 2. 设 G是有 n个顶点， m条边的无向简单图，并且 m=n-1，则下列（ B ）是正
4、确的 。 A G一定是树 B G不一定是树 C G一定不是树 D以上说法都不对 3. 格不具有 D （ A） 交换律 (B)幂等律 （ C） 吸收律 （ D） 全 上界 4. 拉格朗日定理不涉及的概念是 D （ A） 陪集 (B)有限群 （ C） 子群 （ D） 元素的阶 5. 关于图正确的是 C （ A） 零图不是图 (B)树不是二部图 （ C） 竞赛图是有向图 （ D） 欧拉图没有奇圈 6. （多选）下列不是域的有 A B C （ A） 布尔代数 (B)整数 （ C） 格 （ D） 实系数多项式 7. 关于图正确的是 C （ A） 欧拉图是平面图 (B)平面图是连通的 （ C） 货郎担问题
5、有解说明有哈密顿回路 （ D） K5是平面图 暨南大学代数结构与图论试卷 A 卷 考生姓名、 学号： 第 3 页 共 8 页 得分 评阅人 三 、 证明 题 （共 2 小题，每小题 8 10 分，共 18 分） 1. （ 8 分） 设 G 为群， a 为 G 中的给定元素， a 的正规化子 N(a)表示 G 中与 a 可交换的元素构成的集合，即 N(a)=x|x G xa=ax,证明 N(a)为 G 的子群 . 证明 ： ea=ae 故 e N(a)， N(a)非空 （ 2 分） a-1a=a a-1故 a-1 N(a) 设任意 x,y N(a) 则 axy=xay=xya 所以 xy N(a
6、) （ 2 分） 对于任意 x N(a)， x 的逆元 x-1存在，下面证明 x-1 N(a) 由 ax=xa，左右同乘两个 x-1，可知 x-1ax x-1= x-1xa x-1 即 x-1a= a x-1 根据定义 x-1 N(a) （ 3 分） 因此 N(a)为 a 的子群 （ 1 分） 如有其他答案能得到一些要点可以酌情给分。 2. （ 10分） 一棵树 T 有 8 片树叶， 2 个 3 度分支点，其余的分支点都是 4 度顶点，问 T有多少个 4 度分支点？请画出 4 棵非同构的树 . 暨南大学代数结构与图论试卷 A 卷 考生姓名、 学号： 第 4 页 共 8 页 解：设有 x 个 4
7、 度分支点 根据握手定理，以及树的边数 m=节点数 n-1 8+2 3+4 x=2（ x+8+2-1） 所以化简得 14+4x=18 X=2 （ 2 分） 非同构的树有 六 种，任意 4 个即可，每个 2 分 得分 评阅人 四、计算题 （ 4 小题，每小题 6 10 分，共 32 分） 1. （ 10 分） 5 阶轮图，求它的 支配数 0，点覆盖数 0，点独立数 0，匹配数 1， 边覆盖数 1， 最小度 ， 最大度 ，点色数，边色数 ,面色数 S。 解： 5 阶轮图指的五个点的轮，故不难得出：（每个 1 分） 0=1 0=3 0=2 1=2 1=3 =3 =4 =3 =4 S=3 暨南大学代数
8、结构与图论试卷 A 卷 考生姓名、 学号： 第 5 页 共 8 页 2. （ 6 分） G=是 15 阶循环群 . (1)求出 G 的所有生成元 . (2)求出 G 的所有子群 解：（ 1）与 15 互质的是 1 2 4 7 8 11 13 14 （ 2 分） 因此 a a2 a4 a7 a8 a11 a13 a14 （ 2 分） （ 2）因为 15 的因子有 1， 3， 5， 15 因此 G 的所有子群为 （ 2 分） 3. （ 10 分） 有向图 D 如图所示 : D 中有几种非同构的圈？ D 中有几种非圈的非同构的简单回路？ D 是哪类连通图？ D 中长度 等于 3 的通路共有多少条？其
9、中有几条是回路？（需给出计算步骤） 答： 3 种（ 1 分），长度分别为 1， 2， 3（ 1 分） 4 种，长度分别为 3 4 5 6 D 是强连通，也是单向连通和弱连通（ 2 分） 它的邻接矩阵为0100100101010011A （ 2 分）1001011110120112A2 0111111302231124A3 （ 2 分） 因此共有 24 条通路 7 条回路 （ 2 分） 暨南大学代数结构与图论试卷 A 卷 考生姓名、 学号： 第 6 页 共 8 页 4. （ 6 分） 对以下定义的集合和运算判别它们能否构成代数系统？如果能，请说明是构成哪一种代数系统，并简要说明理由。 （ 1）
10、,1,02S 为普通乘法。 （ 2） nnS ,1,1,03 为任意给定的正整数且 ,*2n 为模 n 乘法， 为模 n加法。 （ 3） ,6,3,2,15 S 和 +分别表示最小公倍数和最大公约数。 解： （ 1）代数系统，封闭，具有单位元 1，零元 0，满足交换律，结合律，因此是含幺半群，也就是独异点，但 0不可逆，不是群，（ 2分） （ 2）封闭， n 为质数时为域， n 不是质数时，它是交换环和含幺环，但不是无零因子环 （ 2分） （ 3） 是格 也是布尔代数（ 2 分） 暨南大学代数结构与图论试卷 A 卷 考生姓名、 学号： 第 7 页 共 8 页 得分 评阅人 五、 简答 题 （共
11、 3 小题，每小题 4 8 分，共 16 分） 1. （ 4分） 用文氏图画出充分条件、必要条件、充分必要条件之间的关 系 。 答：一般来说，应该满足以下关系，如果图形对可得 3分，其他酌情给分 2. （ 8分）代数系统 什么时候是整环 。 答： 是交换群 封闭性 半群 结合律 独异点 0 可逆 群 交换群 交换律 (1分 ) 是半群 封闭性 半群 结合律 (1分 ) 乘法关于加法的分配律 (1分 ) 以上说明它是环 (1分 ) 乘法交换律 交换环 (1 分 ) 乘法单位元 1 含幺环 (1分 ) 乘法无零因子 无零因子环 (1分 ) 故是整环 (1分 ) 以上每个最好有详细说明 暨南大学代数结构与图论试卷 A 卷 考生姓名、 学号： 第 8 页 共 8 页 3. （ 4分）举出 生活中碰到的 4种可以抽象为图的例子 . 答： 网络拓扑 交通路线 学生分组 /选课 社交圈 相亲等 合理的每个给 1分
