《9.1.1正弦定理第2课时正弦定理的应用课件高一下学期数学人教B版（2019）必修第四册》由会员分享，可在线阅读，更多相关《9.1.1正弦定理第2课时正弦定理的应用课件高一下学期数学人教B版（2019）必修第四册（40页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第2课时正弦定理的应用,第一篇 教材过关,情景导学,1.对三角形解的个数的判断,absin A,上表也可记为,特别提醒 已知三角形的两角和任意一边,求另两边和另一角,此时有唯一解,三角形被唯一确定.已知两边和其中一边的对角,求其他的边和角,此时可能出现一解、两解或无解的情况,三角形不能被唯一确定,2.三角形的面积公式 任意三角形的面积公式为: SABC=bcsin A=_=_. 即任意三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦值的乘积的一半,提示SABC=ah,其中a为ABC的一边长,h为该边上的高. SABC=r(a+b+c)=rl,其中r,l分别为ABC的内切圆半径及ABC的周长,思考:除了
2、上面提到的三角形面积公式,你还能想到其他的三角形面积公式吗,例1(1)在ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知a=2,B=45,b=1,则满足条件的三角形的个数为() A.0B.1 C.2D.无数 (2)(多选)在ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,根据下列条件解三角形,其中有两解的是() A.b=10,A=45,C=70 B.b=45,c=48,B=60 C.a=14,b=16,A=45 D.a=7,b=5,A=80,A,BC,探究一三角形解的个数的判断,解析(1)由=,得sin A=1,所以满足条件的三角形的个数是0. 故选A. (2)选项B满足csin 60bc,选
3、项C满足bsin 45ab,所以B,C有两解, 对于选项A,可求得B=180-A-C=65,三角形有一解, 对于选项D,由sin B=,且ba,可得B为锐角,三角形只有一解. 故选BC,思维突破 已知两边和其中一边的对角解三角形时,首先求出另一边的对角的正弦值,再利用该正弦值求角,此时要根据已知两边的大小情况来确定该角有一个值还是两个值,或者根据该正弦值(不等于1时)在0180范围内求角,一个锐角,一个钝角,只要不与三角形内角和定理矛盾,就是所求,跟踪训练,1-1已知下列各三角形中的两边及其一边的对角,判断三角形是否有解,若有解,请作出解答. (1)a=10,b=20,A=80; (2)a=2
4、,b=6,A=30,解析(1)a=10,b=20,a20sin 60=1010, absin A, bsin Aab,该三角形有两解. 由正弦定理得,sin B=, B(0,180),B=60或B=120,当B=60时,C=90,c=4; 当B=120时,C=30,c=2. 当B=60时,C=90,c=4; 当B=120时,C=30,c=2,探究二三角形的面积及应用,例2(1)(易错题)在ABC中,角A、B、C的对边分别是a、b、c,c=,b=1,B= 30,则ABC的面积为() A. B.或 C. 或D,B,2)在ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,m=(sin A,sin B)
5、,n=(cos B,cos A),mn=-sin 2C. 求C的大小; 若c=2,A=,求ABC的面积,解析(1)在ABC中,B=30,b=1,c=, =, sin C=, C=60或C=120, 当C=60时,A=90, SABC=bcsin A=; 当C=120时,A=30,SABC=bcsin A=. 故选B. (2)由题意,知mn=sin Acos B+sin Bcos A=-sin 2C, 即sin(A+B)=-sin 2C, 因为sin(A+B)=sin C, 所以sin C=-2sin Ccos C. 由00,所以cos C=-, 所以C=. 由C=,A=, 得B=-A-C=.
6、由=, 得,解得b=2. 所以ABC的面积S=bcsin A=22sin,变式训练,1.(变条件)将例2(2)中的条件“若c=2,A=”改为“若ABC为等腰三角形 且c=2”,求ABC的面积,解析ABC为等腰三角形, A=B=, 由=, 得=, 解得b=2. ABC的面积S=bcsin A=22sin,2.(变条件,变结论)将例2(2)中的条件“m=(sin A,sin B),n=(cos B,cos A),mn= -sin 2C”改为“a+c=2b,2cos 2B-8cos B+5=0”,求角B的大小,并判断ABC的形状,解析2cos 2B-8cos B+5=0, 2(2cos2B-1)-8
7、cos B+5=0. 4cos2B-8cos B+3=0, 即(2cos B-1)(2cos B-3)=0, 解得cos B=或cos B=(舍去). 0B, B,a+c=2b, 由正弦定理, 得sin A+sin C=2sin B=2sin =. sin A+sin=, sin A+sincos A-cos sin A=, 化简得sin A+cos A,sin=1. 0A, A+, A+=, A=,C=, ABC是等边三角形,易错点拨 求三角形的面积容易时出现漏解或多解的情况,注意判断三角形的解的个数,避免漏解或多解,跟踪训练,2-1在ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知cos
8、 C=.若=, 求ABC的面积,解析由=,得abcos C=. 因为cos C=,所以ab=. 又C为ABC的内角,所以sin C=, 所以ABC的面积S=absin C=3,课堂检测,1.已知锐角ABC的面积为3,BC=4,CA=3,则角C的大小为() A.75B.60C.45D.30,解析由三角形的面积公式,得BCCAsin C=3,即43sin C=3,解 得sin C=,因为ABC为锐角三角形,所以C=60,B,2.在ABC中,bsin Aab,则此三角形() A.无解B.有两解 C.有一解D.有无数解,解析因为bsin Aab,所以sin A1,AB,所以0A90.由=,得 asin
9、 B=bsin Aa,即sin B1, 当AB90时,B为锐角; 当90B180时,B为钝角, 故此三角形有两解.故选B,B,3.设三角形的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且C=,a+b=12,则三角形面积的 最大值为() A.6B.8C.7D.9,解析利用基本不等式可得a+b2,当且仅当a=b=6时等号成立,即2 12,解得ab36,当且仅当a=b=6时等号成立,因为C=,所以SABC=absin C 36sin =9,当且仅当a=b=6时等号成立,故三角形面积的最大值为9.故 选D,D,4.在锐角ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若ABC的面积为, 且b=1,c=2,
10、则A的大小为,解析由三角形的面积公式可知,SABC=bcsin A=12sin A=,解得sin A= ,因为ABC为锐角三角形,所以A的大小为,5.如图,AD是ABC外角的平分线,且BC=CD. 证明:,证明由题设知SABD=2SACD,sinBAD =sin(-BAD)=sinCAD, 所以,逻辑推理解三角形的规范解答 ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a(sin B-cos C)=(c-b)cos A. (1)求A; (2)若b=,点D在BC边上,CD=2,ADC=,求ABC的面积. 审:由正弦定理将边化成角,即可求得A的值.在ADC中,由正弦定理可得 sinCAD的值,从
11、而可求得CAD,利用三角形内角和定理可求得C,B, 即可求得AB=AC,再利用三角形的面积公式即可计算得解,素养演练,联:在利用正弦定理后,联系三角恒等变换的知识点,进一步将问题细化到具体的求角问题上,考查学生逻辑推理的素养以及利用公式进行数学运算的素养. 解:(1)a(sin B-cos C)=(c-b)cos A, 由正弦定理可得,sin Asin B-sin Acos C=sin Ccos A-sin Bcos A, 即sin Asin B+sin Bcos A=sin Ccos A+sin Acos C, sin B(sin A+cos A)=sin B, sin B0, sin A+
12、cos A=2sin=1,可得sin=. A(0,), A+, A+=,A=. (2)b=,点D在BC边上,CD=2,ADC,在ADC中,由=,可得=,sinCAD=_, CAD=,C=-CAD-ADC=, B=-BAC-C=, AB=AC=, SABC=ABACsinBAC,1,思:本题主要考查了正弦定理、三角函数恒等变换的应用,三角形内角和定理及三角形的面积公式在解三角形中的应用,考查了学生计算能力和转化能力,针对训练 已知ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且A=,a=,b=. (1)求角B、C; (2)求ABC的面积,解析(1)A=,a=,b=, =,=, 解得sin B=. B(0,), B=或B=,又ab,B,C=. (2)ABC的面积S=absin C=sin
