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1、2020年全国高中数学联赛试题及详细解析说明：1 评阅试卷时，请依据本评分标准。选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次。2 如果考生的解题方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，5分为一个档次，不要再增加其他中间档次。一、 选择题（本题满分36分，每小题6分）本题共有6小题，每小题均给出A，B，C，D四个结论，其中有且仅有一个是正确的。请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分
2、。1使关于的不等式有解的实数的最大值是（ ）A B C D2空间四点A、B、C、D满足则的取值（ ）A只有一个 B有二个 C有四个 D有无穷多个6.记集合将M中的元素按从大到小的顺序排列，则第2020个数是（）ABCD二、填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。7.将关于的多项式表为关于的多项式其中则 .8.已知是定义在上的减函数，若成立，则的取值范围是 。12.如果自然数的各位数字之和等于7，那么称为“吉祥数”.将所有“吉祥数”从小到大排成一列若则 .三、解答题（本题满分60分，每小题20分）13.数列满足：证明：（1）对任意为正整数；(2)对任意为完全
3、平方数。14.将编号为1,2，9的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上，每个等分点上各有一个小球.设圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和为要S.求使S达到最小值的放法的概率.（注：如果某种放法，经旋转或镜面反射后可与另一种放法重合，则认为是相同的放法）15.过抛物线上的一点A（1,1）作抛物线的切线，分别交轴于D，交轴于B.点C在抛物线上，点E在线段AC上，满足;点F在线段BC上，满足，且，线段CD与EF交于点P.当点C在抛物线上移动时，求点P的轨迹方程.2020年全国高中数学联赛试题（二）及参考答案二、（本题满分50分）设正数a、b、c、x、y、z满足求函数的最小值.三、（本题满分50分）
4、对每个正整数n，定义函数（其中x表示不超过x的最大整数， 试求：的值. 2020年全国高中数学联赛解答一、 选择题（本题满分36分，每小题6分）本题共有6小题，每小题均给出A，B，C，D四个结论，其中有且仅有一个是正确的。请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。1使关于的不等式有解的实数的最大值是（ ）A B C D2空间四点A、B、C、D满足则的取值（ ）A只有一个 B有二个 C有四个 D有无穷多个【答案】A【解析】注意到由于则=即只有一个值得0，故选A。3内接于单位圆，三个内角A、B、C的平分线延长后分
5、别交此圆于、。则的值为（ ）A2 B4 C6 D8【答案】A【解析】如图，连，则5.方程表示的曲线是（）A焦点在轴上的椭圆B焦点在轴上的双曲线C焦点在轴上的椭圆D焦点在轴上的双曲线【答案】C【解析】即又方程表示的曲线是椭圆。即曲线表示焦点在轴上的椭圆，选C。二、填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。7.将关于的多项式表为关于的多项式其中则 . 【答案】【解析】由题设知，和式中的各项构成首项为1，公比为的等比数列，由等比数列的求和公式，得：令得取有9.设、满足，若对于任意则 。 【答案】【解析】设由，知，即又只有10.如图，四面体DABC的体积为，且满足则
6、 .【答案】【解析】即又等号当且仅当时成立，这时面ABC，.11.若正方形ABCD的一条边在直线上，另外两个顶点在抛物线上.则该正方形面积的最小值为.【答案】80【解析】设正方形的边AB在直线上，而位于抛物线上的两个顶点坐标为、，则CD所在直线的方程将直线的方程与抛物线方程联立，得令正方形边长为则在上任取一点（6，,5），它到直线的距离为.、联立解得或三、解答题（本题满分60分，每小题20分）13.数列满足：【解析】证明：（1）对任意为正整数；(2)对任意为完全平方数。证明：（1）由题设得且严格单调递增.将条件式变形得两边平方整理得-得由式及可知，对任意为正整数.14.将编号为1,2，9的九个
7、小球随机放置在圆周的九个等分点上，每个等分点上各有一个小球.设圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和为要S.求使S达到最小值的放法的概率.（注：如果某种放法，经旋转或镜面反射后可与另一种放法重合，则认为是相同的放法）【解析】九个编号不同的小球放在圆周的九个等分点上，每点放一个，相当于九个不同元素在圆周上的一个圆形排列，故共有8！种放法，考虑到翻转因素，则本质不同的放法有种. 5分下求使S达到最小值的放法数：在圆周上，从1到9有优弧与劣弧两条路径，对其中任一条路径，设是依次排列于这段弧上的小球号码，则上式取等号当且仅当，即每一弧段上的小球编号都是由1到9递增排列.因此.由上知，当每个弧段上的球号
8、确定之后，达到最小值的排序方案便唯一确定.在1,2，9中，除1与9外，剩下7个球号2,3，8，将它们分为两个子集，元素较少的一个子集共有种情况，每种情况对应着圆周上使S值达到最小的唯一排法，即有利事件总数是种，故所求概率15.过抛物线上的一点A（1,1）作抛物线的切线，分别交轴于D，交轴于B.点C在抛物线上，点E在线段AC上，满足;点F在线段BC上，满足，且，线段CD与EF交于点P.当点C在抛物线上移动时，求点P的轨迹方程.当时，EF方程为：方程为：，联立解得也在P点轨迹上.因C与A不能重合，所求轨迹方程为解二：由解一知，AB的方程为故D是AB的中点. 令则因为CD为的中线，而是的重心.设因点
9、C异于A，则故重心P的坐标为消去得故所求轨迹方程为2020年全国高中数学联赛试题（二）及参考答案一、（本题满分50分）如图，在ABC中，设ABAC，过A作ABC的外接圆的切线l，又以A为圆心，AC为半径作圆分别交线段AB于D；交直线l于E、F。证明：直线DE、DF分别通过ABC的内心与一个旁心。 （2）再证DF过ABC的一个旁心.连FD并延长交ABC的外角平分线于I1，连II1、B I1、B I，由（1）知，I为内心，IBI1=90=EDI1，D、B、l1、I四点共圆，BI l1 =BDI1=90ADI1=（BAC+ADG）ADI=BAC+IDG，A、I、I1共线.I1是ABC的BC边外的旁心
10、二、（本题满分50分）设正数a、b、c、x、y、z满足求函数的最小值.求函数、）=的最小值.令则且同理，+（取等号当且仅当，此时，三、（本题满分50分）对每个正整数n，定义函数（其中x表示不超过x的最大整数， 试求：的值.示例如下：ji1234561*2*3*4*56*则由此，记易得的取值情况如下：k123456789101112131415356678698881071010因此，2020年全国高中数学联赛加试第2题的探讨本文对2020年的全国高中数学联赛加试第2题的解法及来历作以探讨，供感兴趣的读者参考。题目：设正数a、b、c、x、y、z满足 ；，求函数的最小值。一几种迷茫思路的分析这道题
11、目初看起来比较平易，给人一种立刻想到直接使用Cauchy不等式的通畅思路的惊喜，殊不知，这是一个极大的误区，本题的难度和技巧正好在这里设置了较好的陷阱。思路一：由Cauchy不等式知到此，在u0的情况下，力图使用函数的性质无法得到最小值。思路二：考虑到题目的条件是6个变量的3个等量关系，于是，可根据三个条件等式容易求出x、y、z用a、b、c表达的式子：因为a、b、c；x、y、z都是正数，所以， 到此，似乎胜利的曙光就在眼前，立刻想到在区间内使用函数的性质，但也无法得到最小值，而此时的最大值正好与题目的最小值（由于函数的对称性，可以猜测其最小值在A=B=C=600时达到）吻合，实际上，这是一条无
12、用的信息（表明使用Cauchy不等式过当！），它是答题人再次陷入不能自拔的困境。俗话说得好，失败是成功之母，上面的思路也昭示我们，对原式不能直接使用Cauchy不等式，需要再对原式做更好的更有用的恒等变形，可能是正确的途径。二赛题的解答为证明本赛题，我们先证明如下一个引理。引理：在ABC 中，求证： 等号成立的条件是ABC为等边三角形。证明：用向量方法证明如下设是平面上的单位向量，且成角为-A, 成角为-B, 成角为-C,那么， ,所以 注意到，在ABC 中有熟知的等式：.从而得证。有了上面的引理，本题的解答就容易多了，下面看本题的解法。解：同思路二得到，以a、b、c为对应边可以构成一个锐角A
13、BC， 令从而 等号成立的条件显然是A=B=C=600时达到，最后一个不等式是根据引理而得到的。所以，的最小值为.显然，在时，等号成立，所以的最小值为.三背景探索早在1994年，华东交大刘健先生就提出了如下猜想命题：在ABC中，是否有： 后来，湖南师大附中黄军华（现为深圳中学教师）先生在文1曾证明了这一猜想。请看证明：分两种情况（1）当ABC为钝角三角形时，此时不妨设A900， 于是 ，所以 , 再据 ，所以，即三角形为非钝角三角形时结论也成立，综上结论得证。对比之后的叙述与今年的这道竞赛加试第2题的解法，不难知道，今年的这道赛题无非是在的第2种情况的基础上增加了一个解方程组的程序（并由此判断ABC为锐角三角形）罢了，即今年的这道加试题可以看作是由解方程组（初中知识的要求），判断三角形种类、与求最值（高中知识的要求）三个问题的简单合成
