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1、专题22 一类过定点问题的不等式恒成立【方法点拨】 将恒成立问题转化为两函数的位置关系问题,难点在于发现两函数过定点.【典型题示例】例1 设aR,若x0时均有(a1)x1( x 2ax1)0,则a_【答案】【分析】本题解法较多,按照一般思路,则可分为以下两种情况:(A), 无解; (B), 无解因为受到经验的影响,会认为本题可能是错题或者解不出本题其实在x0的整个区间上,我们可以将其分成两个区间(为什么是两个?),在各自的区间内恒正或恒负(如下图)我们知道:函数y1(a1)x1,y2x 2ax1都过定点P(0,1)考查函数y1(a1)x1:令y0,得M(,0),还可分析得:a1;考查函数y2x
2、 2ax1:显然过点M(,0),代入得:,解之得:,或者,舍去,得答案:点评: 本题的关键在于,一是将恒成立问题转化为利用“形”进一步转化为两函数的位置关系问题,二是发现两函数在x轴的右侧过定点.【巩固训练】1. 对任意的,不等式恒成立,则实数的取值的集合是 2.对任意的,不等式恒成立,则实数的取值范围是 3.已知不等式对于任意的恒成立,其中是整数,则的取值集合为_.【答案或提示】1.【答案】【解析】设,因为恒过点(1,0),所以必有,解之得.2.【答案】【分析】考虑从“形”出发.设,易知,且函数横过点又,故在上增必有过所以,解之得又,所以3.【答案】【解析】构造“形”易得,即是整数,或解之得:,或所以,故的取值集合为.