《2016~2017 华南农业大学 线性代数期末试卷及参考答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2016~2017 华南农业大学 线性代数期末试卷及参考答案（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2016-2017 学年第 2 学期考试科目：线性代数考试类型：（闭卷）考试考试时间：120 分钟学号 姓名 年级专业 题号一二三四总分得分评阅人试卷说明:AT 表示矩阵 A 的转置矩阵，A* 表示矩阵 A 的伴随矩阵，A-1 表示矩阵 A 的逆矩阵，A 表示方阵 A 的行列式, I 表示单位矩阵， (a, b ) 表示向量a , b 的内积.装请直接在本试卷上作答。答案写在草稿纸上无效。一. 选择题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）在每小题的选项中，只订有一项符合要求，把所选项前的字母填在题中括号内1. 设 A, B 为任意同阶方阵，则必有
2、()第 5 页 共 6 页(A)(A + B)2 = A2 + 2AB + B2(B)(A + B)(A - B) = A2 - B2线(C) (A + I )2 = A2 + 2 A + I(D)( AB)2 = A2 B22. 已知 A, B,C 均为n 阶可逆阵， AB = BA,AC = CA, 则 ABC =()(A) ACB(B) CAB(C) CBA(D) BCA3. 设 4 阶矩阵 A 的所有元素均为 4，则 4 元齐次线性方程组 Ax = 0 的基础解系中解向量的个数为（）(A)1(B)2(C)3(D)44. 已知 2 阶行列式 a1 + a2b1 + b2-2a2-2b2=
3、 2 ，则 a1b1a2 = （）b2(A) -2(B) -1(C)1(D)25. 设n 阶矩阵 A 满足 2I - 3A = 0 ，则 A 必有一个特征值l =（）(A) - 3 2(B) - 2 3(C) 3 2(D) 2 3二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，满分 20 分）1236. 设向量组a = (k,1,1)T ,a = (1, -2,1)T , a = (1,1, -2)T 线性相关，则 k = .7. 设 3 元非齐次线性方程组 Ax = b 的增广矩阵 经初等行变换可化为 103-1 ( A, b) 01-12 00(k -1)(k + 2)k -1若该方程组无
4、解，则k = .8. 若 3 阶矩阵 A 与 B 相似，矩阵 A 的特征值为1 1 1,3 4 5，则行列式B-1 - I= . a10 29. 矩阵 A = 12b0 是正交矩阵, 则a + b = . 001 10. 设n 阶实对称矩阵 A 的特征值分别为 1, 2, , n , 则使tI - A 为正定矩阵的数t 取值范围是 .三、计算题11. (满分 8 分) 已知 100 131 A = -110 ， B = 01-1求 AT B - 2A . 021 002 511115111151111512.（满分 7 分） 计算行列式D = 321 13. （满分 8 分) 已知 A = 2
5、10 100 ，求 A* 及 A-1 .四、解答题a = (1,-1,2,1)T ,a2 = (1,0,2,2)T ,a3 = (0,2,1,1)T ,a4 = (1,0,3,1)T ,14. (满分 10 分) 设向量组1求该向量组a1,a2 ,a3 ,a4 的一个极大无关组， 并将其余向量通过该最大线性无关组表示出来.15. (满分 10 分) 求下线性方程组的通解（要求用它的一个特解和对应的齐次线性方程组的基础解系所表示.x1 + x2 + x3 + x4 = 22x + 3x + x + x = 11234x + 2x + 2x = 5 13416. (满分8 分)华农的本科毕业论文开
6、始进行查重了。论文查重基于文本相似度， 那么如何计算两个文本的相似程度？一个简单的方法是通过文本中的词出 现的频率构造向量，比如要比较下面两句话的相似度:1) 我/爱/线性代数，线性代数/很/有用。2) 我/爱/线性代数，线性代数/很/容易。两句话共出现了我、爱、线性代数、很、有用、容易共 6 个词，第一句话里“线性代数”出现 2 次，“容易”出现 0 次，其它出现 1 次，用 6维向量描述为(1, 1, 2, 1, 1, 0) ，记为a ，类似地，第二句话用向量描述为(1, 1, 2, 1, 0, 1) ，记为b .试计算：（1） 向量a 与b 的距离(欧氏距离）；（2） 向量a 与b 的夹
7、角余弦（称为余弦距离）（3） 你认为欧氏距离和余弦距离度量上面两句话的相似性哪个更好一些，说明理由.17.（满分 7 分）求二次型 f= (x , x ) 12 x1 的矩阵 A ,并求 f 的秩.12 34 x 2 18. (满分 7 分) 设a1,a2 是齐次线性方程组 Ax = 0 的一个基础解系，证明b1 = a1 + 2a2， b2 = 2a1 +a2 也是方程组 Ax = 0 的一个基础解系。华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2016-2017 学年第 2 学期考试科目：线性代数考试类型：（闭卷）考试考试时间：120 分钟学号 姓名 年级专业 题号一二三四总分得分评阅人试卷说明:A
8、T 表示矩阵 A 的转置矩阵，A* 表示矩阵 A 的伴随矩阵，A-1 表示矩阵 A 的逆矩阵，A 表示方阵 A 的行列式, I 表示单位矩阵， (a, b ) 表示向量a , b 的内积.装请直接在本试卷上作答。答案写在草稿纸上无效。一. 选择题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）在每小题的选项中，只订有一项符合要求，把所选项前的字母填在题中括号内1. 设 A, B 为任意同阶方阵，则必有()第 7 页 共 8 页(A)(A + B)2 = A2 + 2AB + B2(B)(A + B)(A - B) = A2 - B2线(C) (A + I )2 = A2 + 2 A + I
9、(D)( AB)2 = A2 B2解答：选 C(A + B)2 = (A + B)(A + B) = AA + AB + BA + BB因此(A + B)2 = A2 + 2AB + B2 AB = BA ，A 错同样， (A + B)(A - B) = A2 - B2 AB = BA ，故 B 错(AB)2 = A2 B2 AB = BA ，故 D 错(A + I )2 = (A + I )(A + I ) = A2 + AI + IA + I 2 = A2 + 2A + I ，故 C 正确2. 已知 A, B,C 均为n 阶可逆阵， AB = BA,AC = CA, 则 ABC =()(A
10、) ACB(B) CAB(C) CBA(D) BCA解答：选 D由矩阵乘法结合律ABC = (AB)C = (BA)C = BAC = B(AC) = B(CA) = BCA3. 设 4 阶矩阵 A 的所有元素均为 4，则 4 元齐次线性方程组 Ax = 0 的基础解系中解向量的个数为（）(A)1(B)2(C)3(D)4 4444 1111 4444 0 000 4444 0000 解答：选 CA = 4444 0000 ，因此 R( A) = 1，齐次线性方程组的基础解系中解向量的个数为n - R(A) = 4 -1 = 34. 已知 2 阶行列式 a1 + a2b1 + b2-2a2-2b
11、2= 2 ，则 a1b1a2 = （）b2(A) -2(B) -1(C)1(D)2解答：选 B由行列式的性质=a1a2 c1 +c2 a1 + a2a c (-2)2 2= -1 a1 + a2-2a2= - 1 2 = -1b1b2b1 + b2b22 b1 + b2-2b225. 设n 阶矩阵 A 满足 2I - 3A = 0 ，则 A 必有一个特征值l =（）(A) - 3 2(B) - 2 3(C) 3 2(D) 2 3解答：选 D由特征值的性质，设 A 的n 个特征值分别为l1, l2 , ln ，则2I - 3A 的n 个特征值为2 - 3l1, 2 - 3l2 ,，从而 2I -
12、 3A = (2 - 3l1)(2 - 3l2 )(2 - 3ln )由题目条件， (2 - 3l )(2 - 3l ) = 0 ，则必有特征值l = 212i3二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，满分 20 分）1236. 设向量组a = (k,1,1)T ,a = (1, -2,1)T , 解答：-2a = (1,1, -2)T 线性相关，则 k = .方法 1：（n 个 n 维向量的线性相关性，可以转化为行列式是否为零判断）向量组a1,a2 ,a3 线性相关，因此向量组的秩小于 3 k将向量组按列排成矩阵 A = 111 -21 ，由于向量组的秩等于矩阵的秩，因此 11-2 kR( A) 3，即 A 为降秩矩阵，从而 A = 111-21=
