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1、上海交通大学附属中学 2014-2015 学年度一学期高三数学摸底考试卷（满分 150 分，120 分钟完成，答案一律写在答题纸上）一、填空题（本大题共 14 题，每题 4 分，满分 56 分）1函数 的反函数 _答案：解： ， ，由 得 ，故2. 函数 的最小值_答案： 3. 若 ，则 的取值范围是_答案： 4若对任意正实数 ，不等式 恒成立，则实数 的最小值为 答案：-1解：因为对任意正实数 ，不等式 恒成立，所以 ，因此5同时满足（1）答案：156集合 ， 若“a1”是“ ”的充分条件，则实数 b 的取值范围是 答案：解：“a1”是“ ”的充分条件的意思是说当 时， ，现在， ，由 得
2、或 ，即或 ，所以 的范围是 . 7已知 ，则 答案：解：由 可得 ，所以 8方程 有解，则 _答案： 9. 如果答案： 10函数 图像的对称中心是 答案： 解：因为函数 为奇函数，对称中心是 ，因此函数图像的对称中心是 . 11. 答案： 12. 答案： 13. 关于函数必定是 的整数倍；（2） 的表达式可改写为 ；（4） _答案：（2），（3） 14.已知等比数列 的首项为 ，公比为 ，其前 项和记为 ，又设， 的所有非空子集中的最小元素的和为 ，则 的最小正整数 为 答案:45解：由题意有 ，对于和 ，我们首先把 中的元素按从小到大顺序排列，当 时， ，对于 中的任一元素 ，比它大的有
3、个，这 个元素组成的集合的所有子集有 个，把 加进这些子集形成新的集合，每个都是以 为最小元素的 的子集，而最小元素为 的 的子集也只有这些，故在 中 出现 次，所以， 时， 适合上式， 时， 当 ，不成立，当 时， ，由于 ， ，所以 ，最小的 为 二、选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，满分 20 分）15下列说法正确的是（ ）A命题“若 ，则 ”的否命题是“若 ，则 ”B“ ”是“ ”的必要不充分条件C命题“若 ，则 ”的逆否命题是真命题D“ ”是“ ”的充分不必要条件答案：C解： 中，否命题应该是“若 ，则 ”， 错； 中 时，有，故至少是充分的， 错； 中“若 ，则 ”是真命题，
4、因此其逆否命题也是真命题，选 ，而 应该是必要不充分条件 16. 若 是 的最小值，则 的取值范围为（ ）.(A)-1,2 (B)-1，0 (C)1，2 (D) 答案：D解：由于当 时， 在 时取得最小值 ，由题意当 时，应该是递减的，则 ，此时最小值为 ，因此 ，解得 ，选 D 17. 如果 的三个内角的余弦值分别等于 的三个内角的正弦值，则（ ）A 和 都是锐角三角形B 和 都是钝角三角形C 是钝角三角形， 是锐角三角形D 是锐角三角形， 是钝角三角形答案：D解： 是锐角三角形如果 是锐角三角形，则 ， ， ，不可能成立；如果 是直角三角形，不妨设 ，则 ， A1=0 不合题意；所以 是钝
5、角三角形。（可求出钝角的大小为 135） 18. 定义一种新运算： ，已知函数 ，若函数恰有两个零点，则 的取值范围为（ ）.A.(1,2 B. C. D.答案：B解：这类问题，首先要正确理解新运算，能通过新运算的定义把新运算转化为我们已经学过的知识，然后解决问题.本题中 实质上就是取 中的最小值，因此 就是与 中的最小值，函数 在 上是减函数，函数 在上是增函数，且 ，因此当 时， ，时， ，因此 ，由函数的单调性知时 取得最大值 ，又 时， 是增函数，且，又 时， 是减函数，且.函数 恰有两个零点，说明函数 的图象与直线 有两个交点，从函数 的性质知 .选 B.三、解答题(本大题共 5 题
6、，满分 74 分 12+14+14+16+18=74)19. 解关于 x 的不等式： 解：20在 中，角 所对的边分别为 ，已知 ，（1）求 的大小；（2）若 ，求 的取值范围.答案：（1） ；（2） .解：（1）由已知条件结合正弦定理有： ，从而有：， .（2）由正弦定理得： ， ，即： .21数列 的首项 ,(1) 求数列 的通项公式；(2) 设 的前 项和为 ,若 的最小值为 ，求 的取值范围？答案：(1) ；（2） .解：（1） 又 ，则 即奇数项成等差，偶数项成等差 （或: ）（2）当 为偶数，即 时：当 为奇数，即 时： 22阅读：已知 、 ， ，求 的最小值.解法如下： ，当且仅
7、当 ，即 时取到等号，则 的最小值为 .应用上述解法，求解下列问题：（1）已知 ， ，求 的最小值；（2）已知 ，求函数 的最小值；（3）已知正数 、 、 ， ，求证： .答案：（1）9；（2）18；（3）证明见解析.解：（1） ， 2 分而 ，当且仅当 时取到等号，则 ，即 的最小值为 . （2） ， 而 ， ，当且仅当 ，即 时取到等号，则 ，所以函数 的最小值为 . （3）当且仅当 时取到等号，则 . 23已知函数 满足 2 + ，对 x0 恒成立，在数列a n、b n中，a1=1，b 1=1，对任意 xN +， ， 。（1）求函数 解析式；（2）求数列a n、b n的通项公式；（3）若对任意实数 ,总存在自然数 k,当 nk 时, 恒成立，求 k的最小值。答案:（1） （2） （3）3解：（1） ， ，联立解得（2） ， ， 是以 1 为首项、2 为公差的等差数列， ，又 ，相加有 ，（3）对任意实数 0，1时， 恒成立，则 恒成立，变形为 ， 恒成立。设 ， ， 或 ，nN +故 kmin=3
