《1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题 第2课时-2020-2021学年高二数学人教A版选择性必修第一册》由会员分享，可在线阅读，更多相关《1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题 第2课时-2020-2021学年高二数学人教A版选择性必修第一册（23页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题第2课时1平面的斜线l与它在这个平面上射影l的方向向量分别为a(1,0,1)，b(0,1,1)，则斜线l与平面所成的角为()A30B45C60D902已知向量m，n分别是直线l和平面的方向向量和法向量，若cosm，n，则l与所成的角为()A30B60C120D1503直线l1的方向向量a1(1，1,1)，直线l2的方向向量a2(1,2，1)，设直线l1与l2所成的角为，则()Asin Bsin Ccos Dcos 4在三棱锥PABC中，ABBC，ABBCPA，点O，D分别是AC，PC的中点，OP底面ABC，则直线OD与平面PBC所成角的正弦值为_5如图，在
2、四棱锥PABCD中，PB底面ABCD，CDPD，底面ABCD为直角梯形，ADBC，ABBC，ABADPB3点E在棱PA上，且PE2EA求平面ABE与平面DBE夹角的余弦值A组素养自测一、选择题1(多选题)已知v为直线l的方向向量，n1，n2分别为平面，的法向量(，不重合)，则下列选项中，正确的是()An1n2Bn1n2Cvn1lDvn1l2若平面的一个法向量为n1(1,0,1)，平面的一个法向量是n2(3,1,3)，则平面与所成的角等于()A30B45C60D903已知A(0,1,1)，B(2，1,0)，C(3,5,7)，D(1,2,4)，则直线AB和直线CD所成角的余弦值为()ABCD4已知
3、正方形ABCD所在平面外一点P，PA平面ABCD，若PAAB，则平面PAB与平面PCD的夹角为()A30B45C60D905在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为AD，C1D1的中点，O为侧面BCC1B1的中心，则异面直线MN与OD1所成角的余弦值为()ABCD二、填空题6如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB1，点D在棱BB1上，且BD1，则AD与平面AA1C1C所成角的正弦值为_7在空间中，已知平面过点(3,0,0)和(0,4,0)及z轴上一点(0,0，a)(a0)，如果平面与平面xOy的夹角为45，则a_8如图，已知在一个二面角的棱上有两个点A、B，线段AC、BD分别在
4、这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，AB4 cm，AC6 cm，BD8 cm，CD2 cm，则这个二面角的度数为_三、解答题9(2020衡阳市高三联考)如图1，平面四边形BADE中，C为BE上一点，ABC和DCE均为等边三角形，EC2CB2，M，N分别是EC和CB的中点，将四边形BADE沿BE向上翻折至四边形BADE的位置，使二面角DBED为直二面角，如图2所示(1)求证AA平面DMD；(2)求平面AAB与平面DDE所成角的正弦值10(2020全国卷理，19)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别在棱DD1，BB1上，且2DEED1，BF2FB1(1)证明：点C1在平面A
5、EF内；(2)若AB2，AD1，AA13，求二面角AEFA1的正弦值B组素养提升一、选择题1(2021福建泉州市普通高中质量检测)正方体ABCDA1B1C1D1中，动点M在线段A1C上，E，F分别为DD1，AD的中点若异面直线EF与BM所成的角为，则的取值范围为()ABCD2如图，已知四棱锥PABCD的底面ABCD是等腰梯形，ABCD，且ACBD，AC与BD交于O，PO底面ABCD，PO2，AB2，E，F分别是AB，AP的中点则平面FOE与平面OEA夹角的余弦值为()ABCD3正方体ABCDA1B1C1D1中，二面角ABD1B1的大小为()A30B60C120D1504(多选题)如图，多面体O
6、ABDC中，ABCD2，ADBC2，ACBD，且OA，OB，OC两两垂直，则下列结论正确的是()A三棱锥OABC的体积是定值B球面经过点A，B，C，D四点的球的直径是C直线OB平面ACDD二面角AOCD等于30二、填空题5已知在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB1，BC2，AA14，E是侧棱CC1的中点，则直线AE与平面A1ED所成角的正弦值为_6如图，四面体ABCD中， E，F分别为AB，DC上的点，且AEBE，CF2DF，设a，b，c(1)以a，b，c为基底表示，则_；(2)若ADBBDCADC60，且|4，|3，|3，则|_7在正方体ABCDA1B1C1D1中，则A1B与平面A1B1
7、CD所成角的大小为_三、解答题8如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱长都相等，ACBDO，A1C1B1D1O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形(1)证明：O1O底面ABCD；(2)若CBA60，求平面C1OB1与平面OB1D夹角的余弦值9如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ADBC，ADCD，且ADCD，BC2，PA2(1)取PC的中点N，求证：DN平面PAB；(2)求直线AC与PD所成角的余弦值；(3)在线段PD上，是否存在一点M，使得平面MAC与平面ACD的夹角为45？如果存在，求出BM与平面MAC所成角的大小；如果不存在，请说明理由1.4.2用空间向量研
8、究距离、夹角问题第2课时1平面的斜线l与它在这个平面上射影l的方向向量分别为a(1,0,1)，b(0,1,1)，则斜线l与平面所成的角为(C)A30B45C60D90解析l与所成的角即为a与b所成的角(或其补角)，因为cosa，b，所以a，b60l与所成的角为602已知向量m，n分别是直线l和平面的方向向量和法向量，若cosm，n，则l与所成的角为(A)A30B60C120D150解析由已知得直线l的方向向量和平面的法向量所夹锐角为60，因此l与所成的角为303直线l1的方向向量a1(1，1,1)，直线l2的方向向量a2(1,2，1)，设直线l1与l2所成的角为，则(D)Asin Bsin C
9、cos Dcos 解析cosa1，a2cos 4在三棱锥PABC中，ABBC，ABBCPA，点O，D分别是AC，PC的中点，OP底面ABC，则直线OD与平面PBC所成角的正弦值为_解析以O为原点，射线OA，OB，OP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，设ABa，则OPa，可求得平面PBC的法向量为n，所以cos，n，设与平面PBC所成的角为，则sin 5如图，在四棱锥PABCD中，PB底面ABCD，CDPD，底面ABCD为直角梯形，ADBC，ABBC，ABADPB3点E在棱PA上，且PE2EA求平面ABE与平面DBE夹角的余弦值解析以B为原点，以直线BC，BA，BP分别为x，y，z轴建立如
10、图所示的空间直角坐标系则P(0,0,3)，A(0,3,0)，D(3,3,0)设平面EBD的一个法向量为n1(x，y，z)，因为(0,0,3)(0,3，3)(0,2,1)，(3,3,0)，由得取z1，所以于是n1又因为平面ABE的一个法向量为n2(1,0,0)，所以cosn1，n2设平面ABE与平面DBE的夹角为，则cos |cosn1，n2|，故所求夹角的余弦值为A组素养自测一、选择题1(多选题)已知v为直线l的方向向量，n1，n2分别为平面，的法向量(，不重合)，则下列选项中，正确的是(AB)An1n2Bn1n2Cvn1lDvn1l解析对于A，平面，不重合，所以平面，的法向量平行等价于平面，
11、平行，A正确；对于B，平面，不重合，所以平面，的法向量垂直等价于平面，垂直，B正确；对于C，直线的方向向量平行于平面的法向量等价于直线垂直于平面，C错误；对于D，直线的方向向量垂直于平面的法向量等价于直线平行于平面或直线在平面内，D错误故选AB2若平面的一个法向量为n1(1,0,1)，平面的一个法向量是n2(3,1,3)，则平面与所成的角等于(D)A30B45C60D90解析因为n1n2(1,0,1)(3,1,3)0，所以，即平面与所成的角等于903已知A(0,1,1)，B(2，1,0)，C(3,5,7)，D(1,2,4)，则直线AB和直线CD所成角的余弦值为(A)ABCD解析(2，2，1)，
12、(2，3，3)，而cos，故直线AB和CD所成角的余弦值为4已知正方形ABCD所在平面外一点P，PA平面ABCD，若PAAB，则平面PAB与平面PCD的夹角为(B)A30B45C60D90解析如图所示，建立空间直角坐标系设PAAB1，则A(0,0,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)，(0,1,0)取PD的中点E，则E，易知是平面PAB的一个法向量，是平面PCD的一个法向量，所以cos，故平面PAB与平面PCD的夹角为455在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为AD，C1D1的中点，O为侧面BCC1B1的中心，则异面直线MN与OD1所成角的余弦值为(A)ABCD解析如图，以D为坐
13、标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系设正方体的棱长为2，则M(1,0,0)，N(0,1,2)，O(1,2,1)，D1(0,0,2)，(1,1,2)，(1，2,1)则cos，异面直线MN与OD1所成角的余弦值为，故选A二、填空题6如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB1，点D在棱BB1上，且BD1，则AD与平面AA1C1C所成角的正弦值为_解析解法一：取AC、A1C1的中点M、M1，连接MM1、BM过D作DNBM，则容易证明DN平面AA1C1C连接AN，则DAN就是AD与平面AA1C1C所成的角在RtDAN中，sinDAN解法二：取AC、A1C1中点O、E，则OBAC，O
