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1、数论之同余问题余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富,题目难度较大的知识体系,也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点,所以学好本讲对于学生来说非常重要。许多孩子都接触过余数的有关问题,并有不少孩子说“遇到余数的问题就基本晕菜了!”余数问题主要包括了带余除法的定义,三大余数定理(加法余数定理,乘法余数定理,和同余定理),及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。知识点拨:一、带余除法的定义及性质:一般地,如果a是整数,b是整数(b0),若有ab=qr,也就是abqr, 0rb;我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里:(1)当时:我们称a可以被b整除,q称为a除以b的商或完全商(2)当时:我们称
2、a不可以被b整除,q称为a除以b的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型:如图,这是一堆书,共有a本,这个a就可以理解为被除数,现在要求按照b本一捆打包,那么b就是除数的角色,经过打包后共打包了c捆,那么这个c就是商,最后还剩余d本,这个d就是余数。这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。二、三大余数定理:1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数,等于a,b分别除以c的余数之和,或这个和除以c的余数。例如:23,16除以5的余数分别是3和1,所以23+16=39除以5的余数等于4,即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时,所求的余数等于余数之和再
3、除以c的余数。例如:23,19除以5的余数分别是3和4,故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数,即2.2.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数,等于a,b分别除以c的余数的积,或者这个积除以c所得的余数。例如:23,16除以5的余数分别是3和1,所以2316除以5的余数等于31=3。当余数的和比除数大时,所求的余数等于余数之积再除以c的余数。例如:23,19除以5的余数分别是3和4,所以2319除以5的余数等于34除以5的余数,即2.3.同余定理若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数,那么称a、b对于模m同余,用式子表示为:ab ( mod m ),左边的式子叫做同余式。
4、同余式读作:a同余于b,模m。由同余的性质,我们可以得到一个非常重要的推论:若两个数a,b除以同一个数m得到的余数相同,则a,b的差一定能被m整除用式子表示为:如果有ab ( mod m ),那么一定有abmk,k是整数,即m|(ab)三、弃九法原理:在公元前9世纪,有个印度数学家名叫花拉子米,写有一本花拉子米算术,他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行,由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确,他们的检验方式是这样进行的:例如:检验算式1234除以9的余数为11898除以9的余数为818922除以9的余数为4678967除以9的余数为7178902除以9的余数为0这些余数的
5、和除以9的余数为2而等式右边和除以9的余数为3,那么上面这个算式一定是错的。上述检验方法恰好用到的就是我们前面所讲的余数的加法定理,即如果这个等式是正确的,那么左边几个加数除以9的余数的和再除以9的余数一定与等式右边和除以9的余数相同。而我们在求一个自然数除以9所得的余数时,常常不用去列除法竖式进行计算,只要计算这个自然数的各个位数字之和除以9的余数就可以了,在算的时候往往就是一个9一个9的找并且划去,所以这种方法被称作“弃九法”。所以我们总结出弃九发原理:任何一个整数模9同余于它的各数位上数字之和。以后我们求一个整数被9除的余数,只要先计算这个整数各数位上数字之和,再求这个和被9除的余数即可
6、。利用十进制的这个特性,不仅可以检验几个数相加,对于检验相乘、相除和乘方的结果对不对同样适用注意:弃九法只能知道原题一定是错的或有可能正确,但不能保证一定正确。例如:检验算式9+9=9时,等式两边的除以9的余数都是0,但是显然算式是错误的但是反过来,如果一个算式一定是正确的,那么它的等式2两端一定满足弃九法的规律。这个思想往往可以帮助我们解决一些较复杂的算式迷问题。四、中国剩余定理:1.中国古代趣题:中国数学名著孙子算经里有这样的问题:“今有物,不知其数,三三数之,剩二,五五数之,剩三,七七数之,剩二,问物几何?”答曰:“二十三。”此类问题我们可以称为“物不知其数”类型,又被称为“韩信点兵”。
7、韩信点兵又称为中国剩余定理,相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少,韩信答说,每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人。刘邦茫然而不知其数。 我们先考虑下列的问题:假设兵不满一万,每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人,则兵有多少? 首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945(注:因为5、9、13、17为两两互质的整数,故其最小公倍数为这些数的积),然后再加3,得9948(人)。 孙子算经的作者及确实著作年代均不可考,不过根据考证,著作年代不会在晋朝之后,以这个考证来说上面这种问题的解法,中国人发现得比西方早,所以这个问题的推广及其解法,被称为中
8、国剩余定理。中国剩余定理(Chinese Remainder Theorem)在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位。2.核心思想和方法:对于这一类问题,我们有一套看似繁琐但是一旦掌握便可一通百通的方法,下面我们就以孙子算经中的问题为例,分析此方法:今有物,不知其数,三三数之,剩二,五五数之,剩三,七七数之,剩二,问物几何?题目中我们可以知道,一个自然数分别除以3,5,7后,得到三个余数分别为2,3,2.那么我们首先构造一个数字,使得这个数字除以3余1,并且还是5和7的公倍数。先由,即5和7的最小公倍数出发,先看35除以3余2,不符合要求,那么就继续看5和7的“下一个”倍数是否可以,很显然7
9、0除以3余1类似的,我们再构造一个除以5余1,同时又是3和7的公倍数的数字,显然21可以符合要求。最后再构造除以7余1,同时又是3,5公倍数的数字,45符合要求,那么所求的自然数可以这样计算:,其中k是从1开始的自然数。也就是说满足上述关系的数有无穷多,如果根据实际情况对数的范围加以限制,那么我们就能找到所求的数。例如对上面的问题加上限制条件“满足上面条件最小的自然数”,那么我们可以计算得到所求如果加上限制条件“满足上面条件最小的三位自然数”,我们只要对最小的23加上3,5,7即可,即23+105=128。例题精讲:【模块一:带余除法的定义和性质】【例 1】 (第五届小学数学报竞赛决赛)用某自
10、然数去除,得到商是46,余数是,求和【解析】 因为是的倍还多,得到,得,所以,【巩固】 (清华附中小升初分班考试)甲、乙两数的和是,甲数除以乙数商余,求甲、乙两数【解析】 (法1)因为 甲乙,所以 甲乙乙乙乙;则乙,甲乙(法2)将余数先去掉变成整除性问题,利用倍数关系来做:从中减掉以后,就应当是乙数的倍,所以得到乙数,甲数【巩固】 一个两位数除310,余数是37,求这样的两位数。【解析】 本题为余数问题的基础题型,需要学生明白一个重要知识点,就是把余数问题-即“不整除问题”转化为整除问题。方法为用被除数减去余数,即得到一个除数的倍数;或者是用被除数加上一个“除数与余数的差”,也可以得到一个除数
11、的倍数。本题中310-37=273,说明273是所求余数的倍数,而273=3713,所求的两位数约数还要满足比37大,符合条件的有39,91.【例 2】 (年全国小学数学奥林匹克试题)有两个自然数相除,商是,余数是,已知被除数、除数、商与余数之和为,则被除数是多少?【解析】 被除数除数商余数被除数除数+17+13=2113,所以被除数除数=2083,由于被除数是除数的17倍还多13,则由“和倍问题”可得:除数=(2083-13)(17+1)=115,所以被除数=2083-115=1968【巩固】 用一个自然数去除另一个自然数,商为40,余数是16.被除数、除数、商、余数的和是933,求这2个自
12、然数各是多少?【解析】 本题为带余除法定义式的基本题型。根据题意设两个自然数分别为x,y,可以得到,解方程组得,即这两个自然数分别是856,21.【例 3】 (2000年“祖冲之杯”小学数学邀请赛试题)三个不同的自然数的和为2001,它们分别除以19,23,31所得的商相同,所得的余数也相同,这三个数是_,_,_。【解析】 设所得的商为,除数为,由,可求得,所以,这三个数分别是,。【巩固】 (2004年福州市“迎春杯”小学数学竞赛试题)一个自然数,除以11时所得到的商和余数是相等的,除以9时所得到的商是余数的3倍,这个自然数是_【解析】 设这个自然数除以11余,除以9余,则有,即,只有,所以这
13、个自然数为。【例 4】 (1997年我爱数学少年数学夏令营试题)有48本书分给两组小朋友,已知第二组比第一组多5人如果把书全部分给第一组,那么每人4本,有剩余;每人5本,书不够如果把书全分给第二组,那么每人3本,有剩余;每人4本,书不够问:第二组有多少人? 【解析】 由,知,一组是10或11人同理可知,知,二组是13、14或15人,因为二组比一组多5人,所以二组只能是15人,一组10人【巩固】 一个两位数除以13的商是6,除以11所得的余数是6,求这个两位数【解析】 因为一个两位数除以13的商是6,所以这个两位数一定大于,并且小于;又因为这个两位数除以11余6,而78除以11余1,这个两位数为
14、【模块二:三大余数定理的应用】【例 5】 有一个大于1的整数,除所得的余数相同,求这个数.【解析】 这个题没有告诉我们,这三个数除以这个数的余数分别是多少,但是由于所得的余数相同,根据同余定理,我们可以得到:这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差,也就是说它是任意两数差的公约数,的约数有,所以这个数可能为。【巩固】 有一个整数,除39,51,147所得的余数都是3,求这个数.【解析】 (法1) ,12的约数是,因为余数为3要小于除数,这个数是;(法2)由于所得的余数相同,得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差,也就是说它是任意两数差的公约数,所以这个数是【巩固】 在小于1000的自然数
15、中,分别除以18及33所得余数相同的数有多少个?(余数可以为0) 【解析】 我们知道18,33的最小公倍数为18,33=198,所以每198个数一次 1198之间只有1,2,3,17,198(余O)这18个数除以18及33所得的余数相同,而999198=59,所以共有518+9=99个这样的数【巩固】 (2008年仁华考题)一个三位数除以17和19都有余数,并且除以17后所得的商与余数的和等于它除以19后所得到的商与余数的和那么这样的三位数中最大数是多少,最小数是多少?【解析】 设这个三位数为,它除以17和19的商分别为和,余数分别为和,则根据题意可知,所以,即,得所以是9的倍数,是8的倍数此时,由知由于为三位数,最小为100,最大为999,所以,而,所以,得到,而是9的倍数,所以最小为9,最大为54当时,而,所以,故此时最大为;当时,由于,所以此时最小为所以这样的三位数中最大的是930,最小的是154【例 6】 两位自然数与除以7都余1,并且,