1983年全国高中数学联赛试题及解析 苏教版

用心 爱心 专心 11983 年全国高中数学联赛第一试1．选择题(本题满分 32 分，每题答对者得 4 分，答错者得 0 分，不答得 1 分) ⑴ 设 p、 q 是自然数，条件甲： p3－ q3是偶数；条件乙： p+q 是偶数．那么A．甲是乙的充分而非必要条件 B．甲是乙的必要而非充分条件C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件⑵ x= + 的值是属于区间1log 12131log 1513A．(－2，－1) B．(1，2) C．(－3，－2) D．(2，3)⑶ 已知等腰三角形 ABC 的底边 BC 及高 AD 的长都是整数，那么，sin A 和 cosA 中A．一个是有理数，另一个是无理数 B．两个都是有理数C．两个都是无理数 D．是有理数还是无理数要根据 BC 和 AD 的数值来确定⑷ 已知 M={(x， y)|y≥ x2}， N={(x， y)|x2+(y－ a)2≤1}．那么，使 M∩ N=N 成立的充要条件是A． a≥1 B． a=1 C． a≥1 D．0R+r B． l≤ R+r C． R+r B． l≤ R+r C． 135°，cos B= 60°，矛盾．故45 1213 45 513cosA= ．45∴ cos C=cos(π － A－ B)=－cos AcosB+sinAsinB=－ · + · = ．513 4535 12131665⑵ 三边均为整数，且最大边长为 11 的三角形，共有 个．解：设另两边为 x， y，且 x≤ y．则得 x≤ y≤11， x+y>11，在直角坐标系内作直线y=x， y=11， x=11， x+y=11，则所求三角形数等于由此四条直线围成三角形内的整点数．(含 y=11， y=x 上的整点，不含 x+y=11 上的整点)共有 122÷4=36 个．即填 36．⑶ 一个六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为 a 的正三角形，这样两个多面体的内切球半径之比是一个既约分数 ，那么积 m∙n 是 ．mn解：此六面体可看成是由两个正四面体粘成．每个正四面体的高 h1= a，于是，利用体积可得63Sh1=3Sr1， r1= a．69同样，正八面体可看成两个四棱锥粘成，每个四棱锥的高 h2= a，又可得 a2h2=4× a2r2， r2= a．22 34 66∴ = ，∴ m∙n=6．r1r223第二试1．(本题满分 8 分)求证：arc sin x+arc cosx= ，其中 x∈[－1，1]π 2证明：由于 x∈[－1，1]，故 arcsinx 与 arccosx 有意义，sin( －arccos x)=cos(arccosx)=x，由于 arccosx∈[0， π ]，∴ －arccos x∈[－ ， ]．π 2 π 2 π 2 π 2故根据反正弦定义，有 arcsinx= －arccos x．故证．π 22．(本题满分 16 分)函数 f(x)在[0，1]上有定义， f(0)=f(1)．如果对于任意不同的 x1， x2∈[0，1]，用心 爱心 专心 5都有| f(x1)－ f(x2)| ，则 x2－ x1> ,于是 1－( x2－ x1)0)， 则 AM∶ MC=r．由 SABD=3SABC， SBCD=4SABC，即 SABD∶ SBCD =3∶4．从而 AE∶ EC∶ AC=3∶4∶7．SACD∶ SABC=6∶1，故 DE∶ EB=6∶1，∴ DB∶ BE=7∶1．AM∶ AC=r∶( r+1)，即 AM= AC， AE= AC，rr+1 37∴ EM=( － )AC= AC． MC= AC，rr+1 37 4r－ 37(r+1) 1r+1∴ EM∶ MC= ．由 Menelaus 定理，知 · · =1，代入得4r－ 37 CNND DBBE EMMCr·7· =1，即 4r2－3 r－1 =0，这个方程有惟一的正根 r=1．故 CN∶ ND=1，就是 N 为 CN 中点，4r－ 37M 为 AC 中点．4. (本题满分 16 分)在在六条棱长分别为 2，3，3，4，5，5 的所有四面体中，最大体积是多少？证明你的结论．解：边长为 2 的三角形，其余两边可能是：⑴ 3，3；⑵ 3，4；⑶ 4，5；⑷ 5，5．按这几条棱的组合情况，以 2 为公共棱的两个侧面可能是：① ⑴，⑷；② ⑴，⑶；③ ⑵，⑷．先考虑较特殊的情况①：由于 32+42=52，即图中 AD⊥平面 BCD，∴ V1= · ·2 ·4= ；13 12 32－ 12 83 2情况②：由于此情况的底面与情况②相同，但 AC 不与底垂直，故高0 时， F( )> ，当 B ．8 2 58 2 2若 A≠0，则当 h( ) ，当 h( )≥0 时，由于 h(x)是一次函数，当 A>0 时 h(x)递增，58 58 2 58h( )>h( )>0，此时 F( )> ；当 Ah( )>0，此时 F( )> ．故此时 M> ．98 58 98 2 8 58 8 2 2若 A=B=0，显然有 M= ．2从而 M 的最小值为 ，这个最小值在 A=B=0 时取得．2。