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1、广东省茂名市2021届高三下学期第二次综合测试数学试题学校:_姓名：_班级：_考号：_一、单选题1设集合，则( )ABCD2“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念已经深入人心，推动着新能源汽车产业的迅速发展.下表是2020年我国某地区新能源乘用车的前5个月销售量与月份的统计表：月份代码12345销售量(万辆)0.50.611.41.5由上表可知其线性回归方程为：，则的值为（ ）A0.16B1.6C0.06D0.83“”是“函数在上为增函数”的（ ）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件4地震震级是根据地震仪记录的地震波振幅来测定的，一般采用里氏震级标准.震
2、级()是用距震中千米处的标准地震仪所记录的地震波最大振幅值的对数来表示的.里氏震级的计算公式为：(其中(常数)是距震中公里处接收到的级地震的地震波的最大振幅；是指我们关注的这个地震在距震中公里处接收到的地震波的最大振幅)，地震的级数就是当地震发生时，以地震波的形式放出的能量的指示参数焦耳，其中为地震级数，它直接同震源中心释放的能量(热能和动能)大小有关，震源放出的能量越大，震级就越大.已知汶川地震最大振幅是玉树地震最大振幅的倍，若玉树地震波产生的能量为，则汶川地震波产生的能量为（ ）ABCD5已知三角形的边长分别为，则（ ）A1BC3D6设为坐标原点，为抛物线：的焦点，为上一点，若，则的面积为
3、（ ）A2BCD47已知数列满足，且，则（ ）ABCD8在三棱锥中，分别为的中点，且，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）ABCD二、多选题9给出如下数据：第一组：3，11，5，13，7，2，6，8，9；第二组：12，20，14，22，16，11，15，17，18.则这两组数据的（ ）A平均数相等B中位数相等C极差相等D方差相等10已知函数和，则下列正确的是（ ）A的图像可由的图像向右平移个单位得到B时，C的对称轴方程为：D若动直线与函数和的图像分别交于，两点.则的最大值为11传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.这是因为阿基米德认为这
4、个“圆柱容球”是他最为得意的发现，于是留下遗言：他死后，墓碑上要刻上一个“圆柱容球”的几何图形.设圆柱的体积与球的体积之比为，圆柱的表面积与球的表面积之比为，若，则（ ）A的展开式中的常数项是B的展开式中的各项系数之和为C的展开式中的二项式系数最大值是D，其中为虚数单位12已知，分别为双曲线：的左右焦点，的一条渐近线的方程为，且到的距离为，点为在第一象限上的点，点的坐标为，为的平分线.则下列正确的是（ ）A双曲线的方程为BCD点到轴的距离为三、填空题131748年，数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，得到公式，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据此公式，可
5、以得到“最美的数学公式”：_.14写出一个对称中心为的函数_.15在矩形内有两点，其中，则该矩形的面积为_.(答案如有根号可保留)16已知，若恒成立，则实数的取值范围是_.四、解答题17在，它的内角，的对边分别为，且外接圆的半径为1. 在角的平分线交于点，且，请在这三个条件中任选一个，补充在上面问题的横线中，求角和的面积.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.18已知等差数列的前项和为，数列满足，为数列的前项和.（1）求数列的通项公式；（2）求证：数列为等比数列；（3）若恒成立，求的最小值.19如图，四棱锥中，矩形，其中，点为矩形的边上一动点.（1）为线段上一点，是否存在点，使得平面
6、，若存在，请求出的长，若不存在，请说明理由；（2）若，求直线与平面所成角的余弦值.20茂名市是著名的水果之乡，“三高农业”蓬勃发展，荔枝三华李香蕉龙眼等“岭南佳果”驰名中外，某商铺推出一款以新鲜水果为原料的加工产品，成本为每份10元，然后以每份20元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的作垃圾处理.（1）若商铺一天准备170份这种产品，求当天的利润(单位：元)关于当天需求量份，的函数解析式.（2）商铺记录了100天这种产品的日需求量(单位：份)，整理得下图：若商铺计划一天准备170份或180份这种产品，用表示准备170份的利润，表示准备180份的利润，你认为应准备哪个数量更合理？请说明理由.(以1
7、00天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率)21已知点为圆：上一动点，圆心关于轴的对称点为，点分别是线段，上的点，且，.（1）求点的轨迹方程；（2）过点且斜率为的直线与点的轨迹交于，两点，点在点的轨迹上，当时，证明：.22已知函数，.（1）当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围；（2）若存在两个不相等的正数，使得，证明：.试卷第5页，总6页本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。参考答案1D【分析】化简集合A，B，再利用数轴求出结论.【详解】由得，则有，在上单调递增，则，如图，观察数轴得.故选：D2A【分析】求出，将代入即可求出.【详解】由表中数据可得，将代入，即，解得.故选
8、：A.3A【分析】先求出在上为增函数对应的的范围，根据集合包含关系即可得出.【详解】由可得，若在上为增函数，则在恒成立，即在恒成立，则，则可得“”是“函数在上为增函数”的充分而不必要条件.故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查充分而不必要条件的判断，解题的关键是根据在上为增函数求出的范围.4A【分析】根据对数运算法则可求得，由指数运算法则可求得结果.【详解】记汶川地震的最大振幅为，里氏震级为；玉树地震的最大振幅为，里氏震级为；由题意知：，；汶川地震波产生的能量为：.故选：A.5D【分析】由已知可得，根据题意可得，展开即可求解.【详解】，满足，故，则，.故选：D.6B【分析】先利用抛物线定义转化为
9、坐标关系，求出点P坐标，再求面积.【详解】抛物线：，准线.由，即P到准线的距离为6.设，解得，代入抛物线方程，得.故选：B.【点睛】抛物线焦半径问题通常应用定义化斜为直，再利用几何性质或坐标运算求解.7A【分析】由已知递推关系可得数列是以为首项，2为公比的等比数列，得出，再利用累加法可得，即可求出.【详解】由可得，若，则，与题中条件矛盾，故，所以，即数列是以为首项，2为公比的等比数列，所以，则，则.故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查等比数列的应用，解题的关键是得出为等比数列.8B【分析】连接，由由已知可判断出三棱锥为正四面体，取中点，连接，可得即为异面直线与所成角，理由余弦定理即可求出.【详
10、解】如图，连接，平面，又因为是中点，同理可得，又因为，所以和是等边三角形，所以，即三棱锥为正四面体，取中点，连接，则，则即为异面直线与所成角，由得，在中，由余弦定理得.故选：B.【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角9CD【分析】由题可得，第二组
11、的每个数据都是第一组对应数据加上9得到，根据数据特征即可得出结论.【详解】由题可得，第二组的每个数据都是第一组对应数据加上9得到，因此可以判断第二组的平均数和中位数都比第一组多9，而极差和方差不变.故选：CD.10ABD【分析】对A，求出平移后的解析式即可判断；对B，根据范围得出范围即可判断；对C，化简得出，求出对称轴即可判断；对D，可得.【详解】对A，的图像向右平移个单位得到，故A正确；对B，当时，即，故B正确；对C，令，解得，即对称轴为，故C错误；对D，则的最大值为，故D正确.故选：ABD.【点睛】关键点睛：本题考查正余弦函数的性质，解题的关键是正确理解正余弦函数的图象和性质.11BC【分
12、析】设内切球的半径为，由圆柱和球的体积和表面积公式可求得，进而得到；对于A，利用二项式定理得到展开式通项，令可求得，代入得到常数项，知A错误；对于B，采用赋值法，令可得各项系数和，知B正确；对于C，由二项式系数性质知最大值为，知C正确；对于D，根据复数的运算可知D错误.【详解】设内切球的半径为，则圆柱的高为，则，；对于A，展开式通项公式为：，令，解得：，展开式的常数项为，A错误；对于B，即展开式的各项系数之和为，B正确；对于C，展开式中二项式系数最大值为，C正确；对于D，D错误.故选：BC.【点睛】关键点点睛：本题以立体几何的知识为载体，重点考查了二项式定理的知识，解题关键是能够利用球和圆柱的
13、表面积及体积公式确定二项展开式的表达式.12ABD【分析】由到的距离为以及渐近线方程为可求得，即可得出方程，判断A；由可求出判断B；结合双曲线定义可求得，求出，即可求出，判断C；利用等面积法可求得点到轴的距离，判断D.【详解】到的距离为，解得，又渐近线方程为，则，结合可解得，则双曲线的方程为，故A正确；为的平分线，又，故B正确；由双曲线定义可得，则可得，则在中，则，则，故C错误；在中，设点到轴的距离为，则，即，解得，故D正确.故选：ABD.【点睛】关键点睛：本题考查双曲线的简单性质，解题的关键是根据已知求出双曲线方程，结合双曲线的定义求得焦点三角形的各边长.130【分析】由已知公式可直接计算.【详解】，.故答案为：0.14（答案不唯一，任何奇函数向右平移个单位均可）【分析】任取一个奇函数，向右平移个单位即可.【详解】要使对称中心为，可将任何奇函数向右平移个单位即可，如将向右平移个单位可得.故答案为：（答案不唯一，任何奇函数向右平移个单位均可）.15【分析】连接交于，由三角形相似可得，则由余弦定理可求得，即可求出，进而求出面积.【详解】如图，连接交于，在中，由余弦定理可得，同理，在中，由余弦定理可得，在中，可得，则矩形面积为.故答案为：.【点睛】关键点睛
