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1、嘉定区2020学年高三年级第二次质量调研测试数 学 试 卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第712题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果1已知集合，则_2已知复数满足（为虚数单位），则_3已知等差数列满足，则_4若实数、满足，则的最大值为_主视图左视图俯视图5已知函数 （，且）若的反函数的图像经过点，则_6九章算术中，称四个面均为直角三角形的四面体为“鳖臑”已知某“鳖臑”的三视图如图所示，则该“鳖臑”的体积为_7已知正数、满足，则的最小值为_8设数列的前项和为，且满足，则_9将的二项展开式的各项重新随机排列，则有理项互不相邻的概率为_10已知点、是双曲线
2、（，）的左、右顶点，点是该双曲线上异于、的另外一点，若是顶角为的等腰三角形，则该双曲线的渐近线方程是_11已知函数若对任意的，都存在唯一的，满足，则实数的取值范围是_12在平面直角坐标系中，起点为坐标原点的向量满足，且， （）若存在向量、，对于任意实数，不等式成立，则实数的最大值为_二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项考生应在 答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑13“函数 （、，且）的最小正周期为”是“”的（ ）（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件 （C）充要条件 （D）既非充分又非必要条件 14已知一组数据、的平均数是，则这组数据的方差是
3、 （ ）（A） （B） （C） （D）15设直线与椭圆交于、两点，点在直线上若，则实数的取值范围是 （ ）（A） （B） （C） （D）16已知函数，则不等式的解集为 （ ）（A） （B） （C） （D）三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤17（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）在矩形中，矩形绕旋转形成一个圆柱如图，矩形绕顺时针旋转至，线段的中点为（1）求证：；（2）求异面直线与所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）18（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）设常数，函数（1）若函数是奇函数，求实数的值；（2
4、）若函数在时有零点，求实数的取值范围19（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）某居民小区为缓解业主停车难的问题，拟对小区内一块扇形空地进行改造如图所示，平行四边形区域为停车场，其余部分建成绿地，点在围墙弧上，点和点分别在道路和道路上，且米，设（1）当时，求停车场的面积（精确到平方米）；（2）写出停车场面积关于的函数关系式，并求当为何值时，停车场面积取得最大值20（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上（1）求抛物线的方程；（2）若，求点的坐标；（3）过点 （）作两条互相垂直的直线分别交抛物线于、四点，且点、分别为线
5、段、的中点，求的面积的最小值21（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知数列满足：，为数列的前项和（1）若是递增数列，且成等差数列，求的值；（2）已知，且是递增数列，是递减数列，求数列的通项公式；（3）已知，对于给定正整数，试探究是否存在一个满足条件的数列，使得若存在，写出一个满足条件的数列；若不存在，请说明理由嘉定区2020学年高三年级第二次质量调研测试数学试卷参考答案与评分标准说明：1如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分2评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅当考生的解答在某一步出现错误，
6、影响了后续部分，如果该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，但不超过后继部分给分数的一半；如果这一步后面的解答有较严重的错误，就不给分一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10和11 12二、选择题(本大题共有4题，满分20分，每题5分)每题有且只有一个正确选项考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑13B 14A 15D 16A三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必须的步骤17（本题满分
7、14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）由题意知，2分因为是圆柱的一条母线，所以垂直于圆柱的底面，则得 ，即 ，4分又因为 ，且 、平面，所以 平面，因为 平面，所以 6分（2）联结由题意知，所以异面直线与所成的角等于直线与直线所成的角2分在中，,4分由余弦定理得 , 7分所以异面直线与所成的角的大小为 8分18（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）函数的定义域为因为函数是奇函数，所以设，则得 ，即 ，即 ，代入，得，解得 4分此时又因为 ，即 ，所以是奇函数因此所求实数的值为 6分（2）设，即关于的方程在区间上有实数解，即在区间上有实数解2分设，因为
8、，所以 ，于是原问题等价于关于的方程在区间上有实数解 4分所以的取值集合是函数 （）的值域5分设函数，则它是增函数，且的值域是，所以函数 （）的值域是，则得 ，解得 ，即所求的实数的取值范围是 8分19（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）在中，,，由正弦定理得，即 ，即 2分则停车场面积（平方米），即停车场面积约为平方米6分（2）在中，,由正弦定理得，即 ，即 2分则停车场面积，即 ，其中 4分即 ，即 6分因为，所以 ，则当，即 时，停车场面积取得最大值所以当时，停车场面积取得最大值 8分20（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）
9、解：（1）因为抛物线的焦点为，即 ，解得 ， 2分所以所求抛物线的方程为 4分（2）设点由抛物线的定义得 ， 2分令 ，解得 3分因为点在抛物线上，所以，把代入，解得 ，5分因此所求点的坐标为或6分（3）根据题意，直线、的斜率存在，且不为零，可设直线的斜率为，则直线的斜率为，则直线的方程为，直线的方程为，设、由消去，并整理得 ， 2分由一元二方程根与系数的关系得 ，所以，即 ，因此3分同理可得 4分所以，于是，当且仅当，即时，等号成立所以的面积的最小值等于 6分21（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）解：（1）因为是递增数列，所以因为，所以 ，2分又因为成等差数列，所以，即即，解得或当时，这与是递增数列相矛盾，所以4分（2）因为是递增数列，则有，于是 因为，所以 由、得，因此，即 2分又因为是递减数列，则有，于是 因为，所以 由、得，因此，即 由、可得 4分于是当时，即 5分当时，代入上式得，与已知条件相吻合所以所求数列的通项公式是 ，6分（3）当或 （）时，存在数列，使得2分此时数列满足，则有，即 4分当或 （）时，不存在数列，使得6分理由如下：因为，所以 ；又因为为奇数，则当时，为奇数，为偶数， 7分所以当时，为奇数，为偶数，因此，均不可能成立于是当或 （）时，不存在数列，使得8分高三数学 共12页 第12页
