《专题4 圆锥曲线的面积问题（解析版）-2021年高考数学圆锥曲线中必考知识专练》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题4 圆锥曲线的面积问题（解析版）-2021年高考数学圆锥曲线中必考知识专练（29页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题4：圆锥曲线的面积问题（解析版）一、单选题1已知是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且，则的面积等于（ ）A24B26CD【答案】A【分析】由椭圆的定义可得，由勾股定理可得，即可得解.【详解】由题意，椭圆，所以，所以，又，所以，因为，所以，所以，故的面积.故选：A.【点睛】本题考查了椭圆定义的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.2已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，点为抛物线准线与其对称轴的交点，则的面积为( )ABCD【答案】D【分析】先由抛物线的方程得到焦点坐标和准线方程，进而求出点的坐标，再由定义求出点P坐标，结合三角形面积公式可得出结果.【详解】因为，所以其焦点，准线为,所以设,由
2、得，所以，所以，则.【点睛】本题主要考查抛物线的简单性质，属于基础题型.二、解答题3已知动点与平面上两定点、连线的斜率的积为定值.（1）求动点的轨迹的方程；（2）若，过的直线交轨迹于、两点，且直线倾斜角为，求的面积.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）设点，则依题意有，化简可得所求轨迹方程；（2）由题意可得直线的方程为：，再与椭圆方程联立方程求出交点坐标，从而可求出的面积为.【详解】（1）设点，则依题意有，整理得，由于，所以所求动点的轨迹的方程为：.（2）直线的斜率，故直线的方程为：，与椭圆方程联立，消去得：，或.的面积为.【点睛】此题考查轨迹方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查计算能
3、力，属于基础题4已知椭圆，点是椭圆C上一点，离心率为.（1）求椭圆C的标准方程；（2）直线l：与椭圆C相交于A，B两点，且在y轴上有一点，当面积最大时，求m的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据点是椭圆C上一点，离心率为，由，且求解. （2 ）先求得到直线l的方程为的距离，再将直线代入椭圆方程，结合韦达定理，利用弦长公式求得，再利用求解.【详解】（1）由题意可得，且，解得，则椭圆的方程为；（2）由直线l的方程为，则到直线l的距离，将直线代入椭圆方程可得，由判别式，解得，设，则，由弦长公式可得，当且仅当时取得等号.即当面积最大时，m的值为.【点睛】思路点睛：1、解决直线与椭圆的位置关系
4、的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题 2、设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长公式为， (k为直线斜率)注意：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式大于零5已知椭圆E：()的左焦点为，过F的直线交E于A、C两点，的中点坐标为.（1）求椭圆E的方程；（2）过原点O的直线和相交且交E于B、D两点，求四边形面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）设，分别代入椭圆方程作差，结合平方差公式和直线的斜率公式、中点坐标公式，可得a，b的关系，再由a，b，c的关
5、系，解方程可得a，b，进而得到所求椭圆方程；（2）求得直线的方程，联立椭圆方程，可得A，C的坐标.设，且直线的斜率存在，设方程为()，联立椭圆方程，可得B，D的横坐标，则，(，分别表示B，D到直线的距离)，运用点到直线的距离公式和换元法基本不等式可得所求最大值.【详解】解：（1）设，可得，两式相减得，将，代入上式，即，又，即有，则椭圆E的方程为；（2）直线AC的方程为，联立，解得或，设，且直线的斜率存在，设方程为()，联立，得，则， 设，分别表示B，D到直线的距离，所以，令，则，故，当且仅当，即，时，四边形的面积取得最大值.【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆中四边形面积的最值问题，属于较
6、难题.6已知椭圆的左，右焦点分别为，离心率为，且（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的下顶点为，过右焦点作与直线关于轴对称的直线，且直线与椭圆分别交于点，为坐标原点，求的面积【答案】（1）；（2）.【分析】（1）依题意得到方程，即可求出、，再根据，即可求出，从而得解；（2）由题可知，直线与直线关于轴对称，所以，即可求出直线的方程，联立直线与椭圆方程，设，即可求出、的坐标，从而求出，再利用点到直线的距离公式求出原点到直线的距离，最后根据计算可得；【详解】解：（1）由题得，解得，因为，所以，所以椭圆的方程为（2）由题可知，直线与直线关于轴对称，所以由（1）知，椭圆的方程为，所以，所以，从而，所以直线的
7、方程为，即联立方程，解得或设，不妨取，所以当，；当，所以，设原点到直线的距离为，则，所以【点睛】本题考查待定系数法求椭圆方程，直线与椭圆的综合应用，属于中档题.7已知椭圆左，右焦点分别为，为椭圆上任意一点，过的直线与椭圆交于，两点.（1）当时，求的最大值；（2）点在线段上，且，点关于原点对称的点为点，求面积的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由时，为线段的中点，根据椭圆的对称性，可知轴，所以是通径，长度为，利用计算可得最大值（2）首先设，则，利用面积比得，直线方程代入椭圆方程整理应用韦达定理得，面积表示为的函数，设后变形再利用函数的单调性得取值范围【详解】（1）当时，为线段的中点
8、，根据椭圆的对称性，可知轴，所以，所以，当点在椭圆的左顶点时，等号成立，故的最大值为.（2）由题可知，设，则，由题意可知，联立，整理得，由根与系数的关系得，所，令，则，因为在上是增函数，所以，所以面积的取值范围为.【点睛】本题考查直线与椭圆相交，考查椭圆中的面积问题，平面向量的数量积，解题方法是“设而不求”的思想方法直线方程（设出）与椭圆方程联立消元后应用韦达定理，再代入其他条件求解8已知椭圆：的左、右焦点分别为、，离心率为，过点且斜率不为0的直线交椭圆于，两点，当点到直线的距离取最大值时，（1）求椭圆的标准方程；（2）若，求的面积【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由题意可得，再由，求出，
9、即可求解.（2）设，直线的方程为，将直线与椭圆方程联立消去，求出，再由可得求出，由即可求解.【详解】解：（1）设椭圆的半焦距为，当点到直线的距离取最大值时，轴，此时，又椭圆的离心率，所以，解得，所以椭圆的标准方程为（2）设，直线的方程为代入椭圆的方程消去，得，解得，由韦达定理得，若，则，所以，代入得，消去，得，解得，所以，所以的面积为【点睛】本题考查了椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系，此题要求有较高的计算能力，属于难题.9已知椭圆，其长轴为4，离心率为，过椭圆上一点作圆的两条切线，切点分别为，直线与轴的交点分别为.（1）求椭圆的方程；（2）求面积的最小值.【答案】（1）；（2）.【分析】（
10、1）利用已知条件求出，即可得到结果；（2）设点椭圆上点坐标为切点坐标为，利用，得到所在的直线方程，求出点的坐标，即可得出面积，最后利用基本不等式求最值即可.【详解】（1）依题意，得椭圆方程为；（2）设点椭圆上点坐标为，切点坐标为，直线为圆的两切线，圆方程为：.，得到：，即，同理可得，所以点同时满足直线方程，即直线方程为：.令得点坐标为，令得点坐标为，所以，因为在椭圆上，有，所以得 即最小值为，当时取得.所以面积的最小值为.【点睛】关键点点睛：把平面解析几何中的垂直问题转换为向量问题求解，进而求出直线的方程，得到交点坐标，利用面积公式以及基本不等式求解最值.属于中档题.10已知定点，圆，点为圆上
11、动点，线段的垂直平分线交于点，记的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）过点与作平行直线和，分别交曲线于点、和点、，求四边形面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由中垂线的性质得，可得出，符合椭圆的定义，可知曲线是以、为焦点的椭圆，由此可得出曲线的方程；（2）设直线的方程为，设点、，将直线的方程与曲线的方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式计算出，同理得出，并计算出两平行直线、的距离，可得出四边形的面积关于的表达式，然后利用双勾函数的单调性可求出四边形面积的最大值.【详解】（1）由中垂线的性质得，所以，动点的轨迹是以、为焦点，长轴长为的椭圆，设曲线的方程为，则，因此，曲线的方程为:
12、；（2）由题意，可设的方程为，联立方程得，设、，则由根与系数关系有，所以，同理，与的距离为，所以，四边形的面积为，令，则，得，由双勾函数的单调性可知，函数在上为增函数，所以，函数在上为减函数，当且仅当，即时，四边形的面积取最大值为.【点睛】本题考查动点轨迹方程的求解，涉及椭圆的定义，同时也考查了直线与椭圆中四边形面积最值的计算，一般将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理设而不求法来求解，考查计算能力，属于中等题.11已知抛物线的焦点为，若过且倾斜角为的直线交于，两点，满足.（1）求抛物线的方程；（2）若为上动点，在轴上，圆内切于，求面积的最小值.【答案】（1）（2）【分析】（1）求出抛物线的焦
13、点，设出直线的方程，代入抛物线方程，运用韦达定理和抛物线的定义，可得，进而得到抛物线方程；（2）设，不妨设，直线的方程为，由直线与圆相切的条件：，化简整理，结合韦达定理以及三角形的面积公式，运用基本不等式即可求得最小值.【详解】（1）抛物线的焦点为，则过点且斜率为1的直线方程为，联立抛物线方程，消去得：，设，则，由抛物线的定义可得，解得，所以抛物线的方程为（2）设，不妨设，化简得：，圆心到直线的距离为1，故， 即，不难发现，上式又可化为，同理有，所以可以看做关于的一元二次方程的两个实数根，由条件：，当且仅当时取等号.面积的最小值为8.【点睛】本题主要考查了抛物线的定义、方程和性质，主要考查定义
14、法和方程的运用，同时考查直线和抛物线方程联立，运用韦达定理，直线和圆相切的条件：，以及基本不等式的运用，属于中档题.12已知离心率为的椭圆过点（1）求椭圆的方程；（2）过点作斜率为2直线与椭圆相交于，两点，求的长；（3）过点的直线与椭圆相交于，两点，求的面积的最大值【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）由题意，可列出方程组得，即可求出椭圆方程；（2）直线，联立，整理得，写出韦达定理，最后利用椭圆弦长公式能求出的长；（3）当直线的斜率不存在时，直线轴，分别求出，的坐标，根据求出的面积；当直线的斜率存在，且不为0时，可得直线的方程为：，与椭圆的方程联立，得，写出韦达定理和，再根据求出的面积，最后根据双勾函数的性质求出面积的取值范围，综合即可得出的面积的最大值.【详解】解：（1）由题可知，椭圆的离心率为，且椭圆过点，则，解得：，故椭圆的方程为；（2）过点作斜率为2直线，直线，联立，整理得：，设，则，；（3）由于直线
