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1、专题12：圆锥曲线基础检测3（解析版）一、单选题1已知点为抛物线图象上一点，点F为抛物线的焦点，则等于（ ）A3BC2D【答案】A【分析】由抛物线焦半径公式可直接求得结果.【详解】由抛物线方程知：，.故选：.【点睛】本题考查抛物线焦半径的求解，关键是熟练应用抛物线的定义得到焦半径公式.2若双曲线的一条渐近线与直线平行，则的值为( )ABCD【答案】D【分析】求出双曲线中斜率为正数的渐近线方程，根据该直线与直线平行可求得的值.【详解】双曲线的一条渐近线与直线平行，可得.故选：D.【点睛】本题考查利用双曲线的渐近线与直线平行求参数，考查计算能力，属于基础题.3已知抛物线上一点的纵坐标为4，则点到抛
2、物线焦点的距离为（ ）A2B3C4D5【答案】D【解析】试题分析：抛物线焦点在轴上，开口向上，所以焦点坐标为，准线方程为，因为点A的纵坐标为4，所以点A到抛物线准线的距离为，因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，所以点A与抛物线焦点的距离为5.考点：本小题主要考查应用抛物线定义和抛物线上点的性质抛物线上的点到焦点的距离，考查学生的运算求解能力.点评：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，这条性质在解题时经常用到，可以简化运算.4抛物线的焦点是双曲线的一个焦点，则（ ）AB8C4D1【答案】B【分析】分别求出抛物线与双曲线的焦点,两焦点为同一焦点,即可得出的值.【详解】解：抛物线的焦
3、点为,双曲线,为,则,焦点为：或,所以有,解得或,又因为,所以.故选：B【点睛】本题考查抛物线与双曲线的焦点,是基础题.5双曲线的渐近线方程为（ ）ABCD【答案】C【分析】整理双曲线方程为一般方程：，可得，代入渐近线方程即可得解.【详解】根据题意可得，所以双曲线的渐近线方程为故选C【点睛】本题考查了利用双曲线方程求渐近线方程，考查了双曲线的基本量之间的关系，属于基础题.6双曲线的渐近线方程为（ ）ABCD【答案】B【分析】根据双曲线方程即可直接得出渐近线方程.【详解】双曲线,焦点在y轴上且a=2,b=1，所以.故选B.【点睛】本题考查双曲线渐近线方程的求法，注意焦点位置是关键7椭圆的焦点在y
4、轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为（ ）ABCD4【答案】A【分析】由题意可得，求出，的值，结合长轴长是短轴长的两倍列式求得值.【详解】由题意，所以，所以，故选：A【点睛】本题主要考查椭圆的简单性质，属于基础题.8已知点、，动点满足，则点的轨迹是（）A圆B椭圆C双曲线D抛物线【答案】D【分析】向量坐标化代入等式即可.【详解】动点满足，解得，点的轨迹是抛物线.故选: D【点睛】直译法求轨迹方程:把等式中相关量坐标化（代数化），然后整理化简.9已知抛物线上一点纵坐标为，则点到抛物线焦点的距离为（ ）ABCD【答案】C【解析】抛物线的准线方程为，点到准线的距离为5，根据抛物线定义可知点到焦点的距
5、离为5.故选择C.10 椭圆的离心率为（ ）ABCD【答案】B【解析】由椭圆方程可知：，椭圆的离心率为故选B11已知抛物线的焦点坐标是（0，-3），则抛物线的标准方程为（ ）ABCD【答案】A【分析】根据焦点的坐标，确定抛物线的开口方向，同时求得的值，进而求得抛物线的方程.【详解】由于焦点坐标为，故焦点在轴负半轴上，且，故抛物线方程为.【点睛】本小题主要考查已知抛物线的焦点坐标，求抛物线的方程，属于基础题.12正四棱锥（底面是正方形，顶点在底面上的射影是底面中心）的底面边长为4，高为4，点、分别为、的中点，动点在正四棱锥的表面上运动，并且总保持平面，动点的轨迹的周长为（ ）.ABCD【答案】D
6、【分析】过做一个平面与面平行，且与正四棱锥的表面相交，交线之和即为动点的轨迹的周长【详解】取，中点，连接，取中点，连接，因为、分别为，中点，所以，所以，不在面内，所以面因为是中位线所以，所以，因为不在面 内，所以面，因为，所以面面动点在正四棱锥的表面上运动，并且总保持平面，则动点的轨迹的周长为的周长正四棱锥的底面边长为4，高为4，所以，所以动点的轨迹的周长为故选：D【点睛】方法点睛：本题考查立体几何中的轨迹问题，基本方法如下：1.圆锥曲线定义法，以空间几何中的点点距和点线距为载体，利用圆锥曲线的定义得出轨迹方程；2.空间问题平面化法，利用垂直将空间中的距离转化为平面内的动点轨迹；3.利用空间向
7、量求解，建立空间直角坐标系或者以空间向量为基底，由已知得出等量关系，列出方程二、填空题13过椭圆1的左焦点作一条直线与椭圆交于A、B两点，则的周长为_【答案】【分析】利用椭圆的定义即可求解.【详解】如图：根据椭圆的定义可得的周长，由1，则，所以的周长为.故答案为：14已知点，动点满足，则动点的轨迹方程是_【答案】【分析】根据列式化简，即可得出结果.【详解】因为，所以，又，所以，整理得.故答案为：【点睛】方法点睛：求轨迹方程的一般步骤：（1）设所求轨迹上任意一点的坐标为；（2）根据题中条件列出等量关系；（3）化简整理，即可得出所求轨迹方程.15设为椭圆：的左焦点，为椭圆上给定一点，以为直径作圆，
8、点为圆上的动点，则坐标原点到的距离的最大值为_.【答案】【分析】设，因为为椭圆：的左焦点，记起右焦点为，则，记的中点为，得到为圆的圆心，圆的半径为，再由圆的性质，以及椭圆的定义，即可得出结果.【详解】设，因为为椭圆：的左焦点，记起右焦点为，则，记的中点为，由题意可得，为圆的圆心，圆的半径为，因为点为圆上的动点，由圆的性质可得，坐标原点到的距离的最大值为.故答案为：.【点睛】方法点睛：求圆上的点与定点距离最值时，一般先计算定点到圆心的距离，根据圆的性质，得到定点到圆上任意一点距离的最大值为，定点到圆上任意一点距离的最小值为（其中为圆的半径）.16已知抛物线方程为y24x，直线l的方程为xy50，
9、在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线的距离为d2，求d1d2的最小值为_.【答案】【分析】根据题意画出图形：根据抛物线的定义将问题转化为焦点到直线的距离减去，利用点到直线的距离公式即可求解.【详解】根据题意画出图形：抛物线方程为y24x，直线l的方程为xy50，准线为，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线的距离为d2，根据抛物线的定义可知： d1d2的最小值为焦点到直线的距离减去，最小值为.故答案为：三、解答题17已知椭圆的离心率为，点在上（1）求的方程；（2）若抛物线的顶点在坐标原点，焦点在椭圆的长轴上，且椭圆的四个顶点到准线的距离之和等于6，求的方程【答案】（1）；（2
10、）【分析】（1）由离心率可得，将点代入方程可得，即可求出，得出椭圆方程；（2）设抛物线的方程为：，由抛物线性质可得，求出即得抛物线方程.【详解】解：（1）由题意得e =，所以c =，所以，又点在E上，所以，联立，解得，所以椭圆E的方程为（2） 设抛物线的方程为：，由题意得：椭圆的四个顶点到准线的距离之和等于6，又因为椭圆长轴上的两个顶点到准线的距离和为4，所以，则即的方程为18已知抛物线：的焦点为，直线：与抛物线交于，直线：与抛物线交于，交直线：于点，交直线于点求证：（），；（）【答案】（）证明见解析；（）证明见解析【分析】（）联立，根据韦达定理，即可得出结果；（2）联立，根据韦达定理，得到，
11、设点，根据，共线，得出；根据，共线，得到，得出，即可证明结论成立.【详解】（）证明：联立得，根据韦达定理，得，所以（）与（）同理，联立得，根据韦达定理，得，设点，则由，共线，得，则同理由，共线，得，则由，得即【点睛】本题主要考查直线与抛物线位置关系的简单应用，考查韦达定理的应用，属于常考题型.19已知抛物线的顶点在原点,焦点在坐标轴上，点为抛物线上一点.（1）求的方程； （2）若点在上，过作的两弦与，若，求证:直线过定点.【答案】（1）或； （2）证明见解析【详解】试题分析：（1）当焦点在轴时，设的方程为，当焦点在轴时，设的方程为，分别代入点，求得的值，即可得到抛物线的方程；（2）因为点在上，
12、所以曲线的方程为，设点，用直线与曲线方程联立，利用韦达定理整理得到，即可得到，判定直线过定点.试题解析：（1）当焦点在轴时，设的方程为，代人点得，即.当焦点在轴时，设的方程为，代人点得，即，综上可知：的方程为或.（2）因为点在上，所以曲线的方程为.设点，直线，显然存在，联立方程有：.,即即.直线即直线过定点.考点：抛物线的标准方程；直线过定点问题的判定.【方法点晴】本题主要考查了直线与圆锥曲线问题，其中解答中涉及到抛物线的标准方程及其简单的几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系的应用的知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，此类问题的解答中把直线的方程与圆锥曲
13、线方程联立，利用根与系数的关系，及韦达定理是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题.20已知椭圆的离心率为，焦距为，斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点，.（1）求椭圆的方程；（2）若直线过椭圆左焦点，且，求.【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据离心率以及焦距长，结合，解方程组，求得，则问题得解；（2）由题意直线的方程为：,联立直线与椭圆方程组；再利用弦长公式，即可求出的值.【详解】（1）由题意得解得，.所以椭圆的方程为.（2）由（1）得椭圆的左焦点为，则直线的方程为：设，.由得，又，.所以【点睛】本题考查椭圆方程的求解，以及弦长公式的应用，涉及由直线与椭圆的位置关系求参数范围，属综合基础题.21已知椭圆过点，离心率.（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆相交于A、B两点，求.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据题意得，再结合即可求得答案.（2）设，直接联立方程得，再结合韦达定理，利用弦长公式和点到线的距离公式得，点M到直线的距离，进而可得.【详解】解：（1）由题意得，结合，解得所以椭圆的方程为：.（2）由得即，经验证.设，.所以，故因为点M到直线的距离，所以.【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，椭圆的方程，弦长公式等，考查运算能力，是基础题.22已知椭圆：的离心率为，抛
