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1、备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品 第四篇 概率与统计 专题09 数列与离散型随机变量相结合问题类型对应典例数列递推公式与离散型随机变量的分布列和数学期望典例1数列通项公式与离散型随机变量的分布列和数学期望典例2等比数列的证明与离散型随机变量的分布列和数学期望典例3等比数列求和与离散型随机变量的分布列和数学期望典例4数列的综合问题与离散型随机变量的分布列和数学期望典例5【典例1】【广东省珠海市2019-2020学年高三上学期期末】某游戏棋盘上标有第、站，棋子开始位于第站，选手抛掷均匀硬币进行游戏，若掷出正面，棋子向前跳出一站；若掷出反面，棋子向前跳出两站，直到跳到第站或第
2、站时，游戏结束.设游戏过程中棋子出现在第站的概率为.（1）当游戏开始时，若抛掷均匀硬币次后，求棋子所走站数之和的分布列与数学期望；（2）证明：；（3）若最终棋子落在第站，则记选手落败，若最终棋子落在第站，则记选手获胜.请分析这个游戏是否公平.【思路引导】（1）由题意得出随机变量的可能取值有、，求出相应的概率，由此可得出随机变量的分布列，并计算出随机变量的数学期望；（2）棋子要到第站，分两种情况讨论：一是由第站跳站得到，二是由第站跳站得到，可得出，变形后可得出结论；（3）根据（2）中的的递推公式得出和的大小关系，从而得出结论.解：（1）由题意可知，随机变量的可能取值有、， ，. 所以，随机变量的
3、分布列如下表所示：所以，；（2）依题意，当时，棋子要到第站，有两种情况：由第站跳站得到，其概率为；可以由第站跳站得到，其概率为.所以，. 同时减去得；（3）依照（2）的分析，棋子落到第站的概率为， 由于若跳到第站时，自动停止游戏，故有.所以，即最终棋子落在第站的概率大于落在第站的概率，游戏不公平.【典例2】【安徽省皖南八校2019-2020学年高三上学期第二次联考】11月，2019全国美丽乡村篮球大赛在中国农村改革的发源地-安徽凤阳举办，其间甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比赛（每人各投一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲乙两人在同一位置，甲先投，每人投一次球，两人有1人命中，命中者得1分，未命
4、中者得-1分；两人都命中或都未命中，两人均得0分，设甲每次投球命中的概率为，乙每次投球命中的概率为，且各次投球互不影响.（1）经过1轮投球，记甲的得分为，求的分布列；（2）若经过轮投球，用表示经过第轮投球，累计得分，甲的得分高于乙的得分的概率.求；规定，经过计算机计算可估计得，请根据中的值分别写出a，c关于b的表达式，并由此求出数列的通项公式.【思路引导】（1）经过1轮投球，甲的得分的取值为，记一轮投球，甲投中为事件，乙投中为事件，相互独立，计算概率后可得分布列；（2）由（1）得，由两轮的得分可计算出，计算时可先计算出经过2轮后甲的得分的分布列（的取值为），然后结合的分布列和的分布可计算，由，
5、代入，得两个方程，解得，从而得到数列的递推式，变形后得是等比数列，由等比数列通项公式得，然后用累加法可求得解：（1）记一轮投球，甲命中为事件，乙命中为事件，相互独立，由题意，甲的得分的取值为，的分布列为：101（2）由（1），同理，经过2轮投球，甲的得分取值：记，则，由此得甲的得分的分布列为：21012，代入得：，数列是等比数列，公比为，首项为，【典例3】【2019年10月湖南省永州市高三一模】某产品自生产并投入市场以来，生产企业为确保产品质量，决定邀请第三方检测机构对产品进行质量检测，并依据质量指标来衡量产品的质量.当时，产品为优等品；当时，产品为一等品；当时，产品为二等品.第三方检测机构在
6、该产品中随机抽取500件，绘制了这500件产品的质量指标的条形图.用随机抽取的500件产品作为样本，估计该企业生产该产品的质量情况，并用频率估计概率.（1）从该企业生产的所有产品中随机抽取1件，求该产品为优等品的概率；（2）现某人决定购买80件该产品.已知每件成本1000元，购买前，邀请第三方检测机构对要购买的80件产品进行抽样检测.买家、企业及第三方检测机构就检测方案达成以下协议：从80件产品中随机抽出4件产品进行检测，若检测出3件或4件为优等品，则按每件1600元购买，否则按每件1500元购买，每件产品的检测费用250元由企业承担.记企业的收益为元，求的分布列与数学期望；（3）商场为推广此
7、款产品，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动.客户可根据抛硬币的结果，操控机器人在方格上行进，已知硬币出现正、反面的概率都是，方格图上标有第0格、第1格、第2格、第50格.机器人开始在第0格，客户每掷一次硬币，机器人向前移动一次，若掷出正面，机器人向前移动一格（从到），若掷出反面，机器人向前移动两格（从到），直到机器人移到第49格（胜利大本营）或第50格（失败大本营）时，游戏结束，若机器人停在“胜利大本营”，则可获得优惠券.设机器人移到第格的概率为，试证明是等比数列，并解释此方案能否吸引顾客购买该款产品.【思路引导】（1）根据条形图，可得优等品的频率为，进而可得其概率；（2）计算出的值可以
8、为47000，39000，计算出其分别对应的概率，得到分布列，进而可得期望；（3）首先易得，根据题意可得，化简即可得，即为等比数列，利用累加法可得，再分别计算出获胜和失败的概率，比较大小即可得结果.解：（1）根据条形图可知，优等品的频率为，用频率估计概率，则任取一件产品为优等品的概率为.（2）由（1）任取一件产品为优等品的概率为，由题意，或；.故的分布列为：4700039000所以数学期望.（3）机器人在第0格为必然事件，第一次掷硬币出现正面，机器人移到第1格，其概率.机器人移到第格的情况只有两种：先到第格，又出现反面，其概率，先到第格，又出现正面，其概率.所以，故所以时，数列为首项，公比为的
9、等比数列.所以，以上各式累加，得，所以所以获胜概率，失败概率，所以获胜概率更大，故此方案能吸引顾客购买该款产品.【典例4】【江西省抚州市临川第一中学等2019-2020学年高三上学期第一次联考】抚州不仅有着深厚的历史积淀与丰富的民俗文化，更有着许多旅游景点.每年来抚州参观旅游的人数不胜数.其中，名人园与梦岛被称为抚州的两张名片，为合理配置旅游资源，现对已游览名人园景点的游客进行随机问卷调查.若不去梦岛记1分，若继续去梦岛记2分.每位游客去梦岛的概率均为，且游客之间的选择意愿相互独立.（1）从游客中随机抽取3人，记总得分为随机变量，求的分布列与数学期望；（2）若从游客中随机抽取人，记总分恰为分的
10、概率为，求数列的前6项和；（3）在对所有游客进行随机问卷调查的过程中，记已调查过的累计得分恰为分的概率为，探讨与之间的关系，并求数列的通项公式.【思路引导】（1）根据n次独立重复试验模型可求解（2）总分恰为的概率,求前6项和即可（3）已调查过的累计得分恰为 分的概率为，得不到分的情况只有先得分，再得2分，概率为，可得递推关系，构造等比数列求解即可.解：（1）可能取值为3，4，5，6，故其分布列为3456.（2）总分恰为的概率，故.（3）已调查过的累计得分恰为 分的概率为，得不到分的情况只有先得分，再得2分，概率为，而，故，即，可得，所以可得.【典例5】【2019年全国统一高考数学试卷（理科)（
11、新课标)】为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分甲、乙两种药的治愈率分别记为和，一轮试验中甲药的得分记为X（1）求的分布列；（2
12、）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，表示“甲药的累计得分为时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则，其中，假设，(i)证明：为等比数列；(ii)求，并根据的值解释这种试验方案的合理性【思路引导】（1）首先确定所有可能的取值，再来计算出每个取值对应的概率，从而可得分布列；（2）（i）求解出的取值，可得，从而整理出符合等比数列定义的形式，问题得证；（ii）列出证得的等比数列的通项公式，采用累加的方式，结合和的值可求得；再次利用累加法可求出.解：（1）由题意可知所有可能的取值为：，；则的分布列如下：（2），（i）即整理可得： 是以为首项，为公比的等比数列（ii）由（i）知：，作和可得：表示最终认为
13、甲药更有效的.由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种实验方案合理. 【针对训练】1. 【2019年安徽省江淮十校高三上学期第一次联考】棋盘上标有第、站，棋子开始位于第站，棋手抛掷均匀硬币走跳棋游戏，若掷出正面，棋子向前跳出一站；若掷出反面，棋子向前跳出两站，直到调到第站或第站时，游戏结束.设棋子位于第站的概率为.（1）当游戏开始时，若抛掷均匀硬币次后，求棋手所走步数之和的分布列与数学期望；（2）证明：；（3）求、的值.【思路引导】（1）根据题意得出随机变量的可能取值有、，利用独立重复试验的概率公式计算出随机
14、变量在相应取值时的概率，可列出随机变量的分布列，由此计算出随机变量的数学期望；（2）根据题意，棋子要到第站，由两种情况，由第站跳站得到，也可以由第站跳站得到，由此得出，并在该等式两边同时减去，可得出所证等式成立；（3）结合（1）、（2）可得，利用累加法求出数列的通项公式，从而可求出和的值.解：（1）由题意可知，随机变量的可能取值有、.，.所以，随机变量的分布列如下表所示：所以，随机变量的数学期望为；（2）根据题意，棋子要到第站，由两种情况，由第站跳站得到，其概率为 ，也可以由第站跳站得到，其概率为，所以，.等式两边同时减去得；（3）由（2）可得，.由（2）可知，数列是首项为，公比为的等比数列，又，则，由于若跳到第站时，自动停止游戏，故有.2. 【湖南省长沙市浏阳市第一中学2019-2020学年高三上学期第六次月考数学】随着科学技术的飞速发展，网络也已经逐渐融入了人们的日常生活，网购作为一种新的消费方式，因其具有快捷、商品种类齐全、性价比高等优势而深受广大消费者认可.某网购公司统计了近五年在本公司网购的人数，得到如下的相关数据(其中“x=1”表示2015年，“
