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1、第二讲数列高考风向标数列的概念等差数列及其通项公式、前项和公式 数学归纳法及其应用 通项与前n 项和公式；等比数列及其通项公式、前 n 项和之间的关系是高考常考的热点内容，n递推数列在各地的高考中闪亮登场典型题选讲2an ,0an1 ;6例 若 数 列 an 满 足 an 12若 a1的 值 为1， 则 a202an 1,an1.72（）6531A BCD7777讲解逐步计算，可得a16,7a212157,7a310137,7a46,7a512157,.7这说明数列 an 是周期数列， T3.而 20 3 627应选 B, 所以 a205点评分段数列问题是一种新问题，又涉及到周期数列， 显示了
2、以能力立意，题活而不难的特色例在等比数列 a n 中，前 n 项和为 Sn，若 Sm， Sm+2，Sm+1 成等差数列，则am, am+2,am+1 成等差数列 .（）写出这个命题的逆命题；（）判断逆命题是否为真，并给出证明.讲解（）逆命题：在等比数列a n 中，前 n 项和为 Sn，若 am, am+2, am+1 成等差数列，则 Sm， Sm+2， Sm+1 成等差数列 .（）设 a n 的首项为 a1，公比为q由已知得2am+2= am + a m+1 2a1qm+1=a1 q m 1 +a1qma10q 0 , 2q2 q 1=0 ,1 q=1 或 q=.2当 q=1 时，Sm=ma1
3、， Sm+2= (m+2)a 1， Sm+1= (m+1)a 1，Sm+Sm+1 2 Sm+2, Sm， Sm+2， Sm+1 不成等差数列 .当 q= 1 时 ,22a11 ( 1 )m 2 4m 22 S =21a1 1,m+213212 Sm+Sm+1=2 Sm+2 , Sm，Sm+2， Sm+1 成等差数列综上得：当公比 q=1 时，逆命题为假；当公比 q 1 时，逆命题为真点评对公比进行分类是本题解题的要害所在，问题好在分类，活在逆命题亦假亦真二者兼顾，可谓是一道以知识呈现、能力立意的新颖试题例设数列 an 前 n 的项和为Sn，且 (3m)Sn2manm 3(nN *). 其中 m
4、 为常数， m3,且 m 0（ 1）求证： an 是等比数列；na1,bn3f (bn 1)(nN*, n2),求证1，（ 2）若数列 a 的公比满足 q=f(m)且 b12bn为等差数列，并求bn 讲解 （ 1）由 (3m) Sn2manm3，得(3m)Sn 12man 1m3,两式相减，得(3m)an 12man ,( m3)an 12m ,anm3 an 是等比数列由a1 1,q f (m)2mN且时(2) b1, nn 2 ,m 3bn332bn 12f (bn 1)bn 12bnbn 13bn 3bn 11bn，得311.bn 13 1 是1为首项 1为公差的等差数列 ,bn31n1
5、n 2bn13,3故有 bnn3 .2点评 为了求数列bn的通项，用取倒数的技巧，得出数列1 的递推公式，从bn而将其转化为等差数列的问题例 设数列 an的前 n 项和为 Sn，若 Sn 是首项为 S1 各项均为正数且公比为q 的等比数列 .（）求数列an的通项公式 an （用 S1 和 q 表示）；（）试比较anan2与 2an 1 的大小，并证明你的结论 .讲解（）Sn是各项均为正数的等比数列， SnS1 qn 1 ( q0) 当 n=1 时， a1=S1；当 n2 时 , anSnSn 1S1 (q 1)q n 2 anS1(n1)S1 (q 1)q n 2 ( n 2)（）当 n=1
6、时，Q a1a3 2a2S1S(q1)q 2S( q 1) S1( q3)21 0,24 a1 a3 2a2 当 n 2 时,anan 2 2an 1S1 (qn2nn 11)qS1 (q1)q2S1(q 1)qS1q 132 .qn S10, qn 20,当 q=1 时， (q1)30,anan 2 2an 1.当 0 q 1时, (q1) 30,ana n 22an 1.当 q 1时, (q1)30,anan 22an 1.综上以上，我们可知：当n=1 时， a1 a32a2 当 n 2 时, 若q1,则 an an 2 2an 1 ;若 0 q1,则 an an 2 2an 1;若 q
7、1,则 anan 2 2an 1.点评数列与比较大小的综合是高考命题的一个老话题，我们可以找到较好的高考真题本题求解当中用到Sn 与 an 之间的关系式：S1 ,(n1)anSn 1 .(n2)Snnn例 已知数列 an 满足 an 0，且对一切 n N x，有ai3Sn2 , 其中 Snai ，i1i 1(1) 求证：对一切nN x，有 an21an1 2Sn ；(2) 求数列 an 的通项公式；(3) 求证：nak3kk1nai3Sn2讲解 (1)由i 1n1得ai3Sn21i1- 得a3S2S2n+1nn +1 nnn+1n+1n1n1n =(S+S )( S -S )=(2 S +a) a an+1 0， an2 1an 12Sn (2)由 an2 1an 12Sn ，得an2an2Sn 1 (n 2)，两式相减，得( an+1+ an)( an+1 - an)= an+1+ an， an+1+ an 0， an+1 - an =1(n 2)当 n=1， 2 时易得， a1=1 ， a2=2， an+1 - an =1(n 1) 从而 an 是等差数列，其首项为a1=1，公差 d=1 ，故 an=n (3)nakn1k k
