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1、高中数学专题双曲线的参数方程抛物线的参数方程 对应学生用书P251双曲线的参数方程x2y2 sec，x a(1) 中心在原点， 焦点在 x 轴上的双曲线 a2 b2 1 的参数方程是y btan规定3参数 的取值范围为 0,2 ) 且 2 ， 2 .y2x2x btan，(2) 中心在原点，焦点在 y 轴上的双曲线 a2 b21 的参数方程是 y asec .2抛物线的参数方程x 2pt2，(1) 抛物线 y2 2px 的参数方程为ptt R.y 2(2) 参数 t 的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数 对应学生用书 P25双曲线、抛物线参数方程的基本问题 例 1 (1
2、)x 23tan ，双曲线( 为参数 ) 的焦点坐标是 _y6sec x tan t ，(2) 将方程1 cos 2t化为普通方程是 _y 1 cos 2t 思路点拨 (1) 可先将方程化为普通方程求解；(2) 利用代入法消去 t .x 2 3tan，y2x2 解析 (1) 将 y 6sec 化为 3612 1，可知双曲线焦点在y 轴，且 c36 12 43，故焦点坐标是(0 ，4 3) 11 cos 2t2sin 2t2(2) 由 y 1 cos 2t 2cos2t tan t ，将 tant x 代入上式，得y x2，即为所求方程 答案 (1)(0 ，423) ； (2) y x .(1)
3、 解决此类问题要熟练掌握双曲线与抛物线的参数方程，特别是将参数方程化为普通方程，还要明确参数的意义(2) 对双曲线的参数方程，如果x 对应的参数形式是sec ，则焦点在x 轴上；如果y对应的参数形式是sec ，则焦点在y 轴上x sec，( 为参数 ) 上一点 P 到它的右焦点的距离是8，那么 P1如果双曲线y 6tan 到它的左焦点距离是 _解析：由双曲线参数方程可知 1，a故 P 到它左焦点的距离| PF| 10 或| PF| 6.答案： 10 或 6y 2t ，2过抛物线xt 2如果 x2 x2 6. 则 | AB| _.解析：化为普通方程是： | AB| x1 x2 p8.答案： 8(
4、 t 为参数 ) 的焦点作直线交抛物线于A( x1，y1) ，B( x2，y2) 两点，y22x 4 即 y 4x， p 2.双曲线、抛物线参数方程的应用 例 2连结原点O和抛物线 2y x2 上的动点 M，延长 OM到 P 点，使 | OM| | MP| ，求 P点的轨迹方程，并说明它是何曲线 思路点拨 由条件可知，M点是线段的中点，利用中点坐标公式，求出点P的轨OP迹方程，再判断曲线类型 解 设 M( x、y) 为抛物线上的动点，P( x0，y0) 在 OM的延长线上，且M为线段 OP的中2x 2t ，x0 4t ，点，抛物线的参数方程为t2用中点公式得2y 2y0 4t .122变形为
5、y0 4x0，即 P点的轨迹方程为x 4y.表示抛物线在求曲线的轨迹和研究曲线及方程的相关问题时，常根据需要引入一个中间变量即参数( 将 x，y 表示成关于参数的函数) ，这种方法是参数法，而涉及曲线上的点的坐标时，可根据曲线的参数方程表示点的坐标3设 P 为等轴双曲线 x2y2 1 上的一点， F1 和 F2 为两个焦点，证明： | F1P| |F2P| | OP| 2.证明：如图，设双曲线上的动点为P( x，y) ，焦点 F1( 2， 0) ，x sec ，F2(2， 0) ，双曲线的参数方程为y tan.则： (| F1P| |F2P|) 2 (sec2)2 tan 2 (sec 2)
6、2 tan 2 (sec 2 22sec2 tan 2)(sec 2 2 2sec 2tan 2) ( 2sec 1)2(2sec 1)2 (2sec 2 1) 2.又 | OP| 2sec 2 tan 2 2sec2 1，由此得 | F1P| |F2P| | OP| 2. 对应学生用书 P26一、选择题x t 2 1，( t 为参数 ) 的焦点坐标是 ()1曲线 2 1ytA (1,0)B (0,1)C ( 1,0)D (0 ， 1)3解析：将参数方程化为普通方程( y 1) 24( x 1) ，该曲线为抛物线y2 4x 向左、向上各平移一个单位得到，所以焦点为(0,1) 答案： Bx 1a
7、1，a2已知某条曲线的参数方程为2( 其中 a 是参数 ) ，则该曲线是11aya2()A线段B圆C双曲线D圆的一部分解析：将所给参数方程的两式平方后相减，得 x2 y21.11并且由 | x| 2| a a| 1，得 x1或 x 1，从而易知结果答案： Cx et e t ，( t 为参数 ) 的图形是 (3方程t t)y e eA双曲线左支B双曲线右支C双曲线上支D双曲线下支222t2t (e2t 2tt tt t解析： x y e 2 e 2 e ) 4.且 x e e2 ee 2.表示双曲线的右支答案： B4 P 为双曲线x 4sec，y 3tan( 为参数 ) 上任意一点， F1，
8、F2 为其两个焦点，则F1PF2 重心的轨迹方程是 ()A 9x216y2 16( y0)B 9x216y2 16( 0)yC 9x216y2 1( y0)D 9x216y2 1( y0)解析：由题意知a 4， b 3，可得 c 5，故 F1( 5,0) ， F2(5,0) ，4设 P(4sec ，3tan ) ，重心 M( x， y) ，则5 5 4sec 40 03tanx3 3sec ， y3 tan.22从而有 9x 16y 16( y0) 二、填空题225已知动圆方程x y xsin222 ysin( 4 ) 0( 为参数 ) 则圆心的轨迹方程是 _x 1sin 2 ，解析：圆心轨迹的参数方程为2y2sin 4.x sincos ，即sin cos .消去参数得：yy211 1 2( ) x2x2211答案： y 1 2x( 2 x2)6双曲线x3tan，( 为参数 ) 的两条渐近线的倾斜角为 _ysec
