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1、初二数学寒假专题平移旋转在几何解证中的作用华东师大版【同步教育信息 】一 . 本周教学内容：寒假专题一平移旋转在几何解证中的作用主要内容平移旋转在几何解证中的作用在几何题或代数几何综合题的解证过程中，经常会使用几何变换的观点来解决问题。从图形的特点出发，利用几何变换，可将图形的全部或一部分移动到一个新的位置，构成一个新的关系，从而使问题获得解决。这种几何变换不改变被移动部分图形的形状和大小，而只是它的位置发生了变化，这种移动有利于找出图形之间的关系，从而使解题更为简捷。移动图形一般有三种方法：（ 1）平移法。（ 2）旋转法：利用旋转变换。（ 3）对称：可利用中心对称和轴对称。【典型例题】例 1
2、.如图所示， A、 B 两村之间有一条河，河宽为a，现要在河上修一座垂直于河岸的桥，要使AB两村路程最近，请确定修桥的地点。分析： 假设桥为MN，从 A B 要走的路程为AMNB，要使路程最近，只需AM NB最小即可。例 2.在 ABC的边 BC上，取两点D、 E，使 BD CE，观察 AB AC与 AD AE 的大小关系。分析： 四条线段AB、 AC、 AD、 AE比较分散，可利用平移的方法将它们集中到一起，即可求出大小关系。证明： 将 AEC沿 EB的方向平移到FBD位置 FBAE， FD AC设 FD与 AB的交点为 O在 AOD中， AO ODAD在 FOB中， FO OBFB例 3.
3、已知： AB CD 1， AB 与 CD交于 O点， DOB60，比较AC BD与 1 的大小。分析： 利用平移将AC与 BD集中，再利用三角形三边关系进行比较大小。解：证明： 过 C 作 CEAB，过 B 作 BE AC，连结 DE四边形ABEC为平行四边形 ACBE， AB CE DOB 60， ABCE DCE 60 ABCD 1 CECD 1 DCE为等边三角形 DE1在 DEB中， DB BEDE即 DBAC 1例 4.已知：如图，E 是正方形ABCD的边 BC上一点， AF 平分 EAD交 CD于点 F，说明 AE BEDF的理由。分析： 由于要证的3 条线段 AB、 BE、 DF
4、 分散在两个三角形中，可利用旋转变换，将其放到一个三角形中。解： 把 ADF绕点 A 顺时针旋转90，则点D 转到了点 B 的位置，点F 转到了点F 的位置，根据旋转的性质得： 3 1， FB FD， AFB AFD ABCD为正方形 D ABF 90 F 、B、 E、 C 在一条直线上又 1 2 EAB 90 3 2 EAB90 FAE 2 90又 AFD 1 90 AFB 1 90 1 2 FAE AFB AEFE FB BE FD BE例 5.如图，P 是正方形ABCD内一点，将ABP绕点B 顺时针旋转90，使AB与CB重合，BP到达BP 处， AP到达CP 处，若AP 的延长线正好经过
5、P，求 APB的度数。分析： 此题运用旋转将ABP绕点 B 顺时针旋转90，根据旋转性质求出而 BPC 又是 BPP 与 CPP 之和，可各个击破，从而得解。解： 由旋转的性质及特征可知： PBP 90， APPC ， BP BPBPC 的度数即可。在BPP中，又 AP的延长线正好经过P 点 APC 90 BPC APC BPP 135从而可得 APB 135例 6. 已知：如图， E、F、 G分别是正方形 ABCD中 BC、 AB、 CD上的点，且 AE FG。求证： AE FG分析： AE、 FG所在位置不易证明相等，可将其一改变位置，如可用平移、旋转将其位置改变后再进行证明。证明： 延长
6、 AB至 F 使 BF BE，连结 CF正方形ABCD ABCB， ABC 90又 CBF 90， BE BF ABE绕点 B 顺时针旋转90可得 CBF AECF ， AE CF FGAE FGCF又正方形ABCD， AB CD四边形GFFC 为平行四边形 CF FG AEFG例 7. 如图， P 是正方形 ABCD中 AC上一点， PE AD于 E， PF CD于 F。求证：（ 1） OE OF（ 2） OE OF分析： 充分利用正方形的中心对称性及旋转变换。证明： 正方形ABCD ADC 90， DAC 45 DEAD， PED90 PFCD， PFD90四边形 EPFD为矩形 PEDF
7、又 PED 90， DAC 45 APE 45 AEP中， AE PE AEDF正方形ABCD为中心对称图形 AOD绕点 O顺时针旋转90与 DOC重合 A 与 D 为对应点又 AE DF E 与 F 为对应点由旋转变换的特征知：OE OF， OEOF例 8. ABC为等边三角形，点 D、 E、 F 分别在边 AC、 AB、 BC上，且 AE BF CD，连结 AF、 BD、CE，分别交于点 G、 H、 M。（ 1）求 1 的度数；（ 2）判断 GMH的形状。分析： 等边三角形是旋转对称图形，且每个角都是60，而 2 4 1 4 3 60，从而得证。解： （ 1）等边 ABC是旋转对称图形，且
8、AE BF CD1 是 BCH的外角，可知1 2 3。所以， ABC绕旋转中心旋转120后， AEC、 BFA、 CDB能够重合 2 4由 1 2 3 1 4 3 60（ 2）同理可得： GMH MGH 60 GMH是等边三角形【模拟试题】1. 两个长为 12cm的线段 AB 与 CD相交于点 O， AOD 120，判断 AC BD的最小值。2.如图 ABC中， BAC 90， P 是 ABC内一点，将ABP绕点 A 逆时针旋转一定角度后能与ACQ重合，如果AP 3，那么 APQ的面积是多少？3. ABC是等边三角形，D 为 BC边上一点，CDE也为等边三角形，请你画出将ACD以 C 点为旋转中心，逆时针方向旋转60后的三角形，并说明AD与 BE 的关系。4.在四边形ABCD中， ADC ABC90， AD CD， DP AB 于 P，若，求 DP的长。5. ABC中， BAC 120，以 BC为边向形外作等边BCD，把 ABD绕点 D顺时针方向旋转60到 ECD的位置，若AB 3， AC 2。（ 1）求 BAD的度数；（ 2）求 AD的长。【试题答案】1.，最小值为122.3. 相等4. 55.（ 1）60（2） 5
