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1、不等式的性质及其解集典例剖析例 1 根据不等式的基本性质，把下列不等式化为x a 或 x a 的形式.（ 1）x 7 0；（ 2）1 x 1 x 15；（ 3） 2 x 5；（ 4）221x 1.5【分析 】本例考查了不等式基本性质的简单应用。【解题思路 】本例利用了不等式的以下三条基本性质：不等式基本性质1：不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不 变 .不等式基本性质2：不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 .不等式基本性质3：不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 .第（ 1）小题中，在原不等式的两边都加上7，根据不等式基本性质1，此时
2、不等号的方向不变，所以得：x 7；第（ 2）小题中，在原不等式的两边都加上1 x ，根据不等式基本性质1，此时不等号2的方向不变，所以得：x 15；第（ 3）小题中，在原不等式的两边都除以2（或者乘1 ），由于2 是正数，根据不等25式基本性质2，此时不等号的方向不变，所以得：x 2 ；第（ 4）小题中，在原不等式的两边都乘5（除以1 ），由于5 是负数，根据不等5式基本性质3，此时不等号的方向改变，所以得：x 5。解：（ 1）根据不等式基本性质1，在原不等式的两边都加上7，得x 7；（ 2）根据不等式基本性质1，在原不等式的两边都加上1 x ，所以得2x 15；（ 3）根据不等式基本性质2，
3、在原不等式的两边都除以2（或者乘1 ），得5 ；2x 21 ），得（ 4）根据不等式基本性质3，在原不等式的两边都乘5（除以5x 5。【跳出误区 】在解本题时， 最容易出现的错误是受到等式的基本性质的思维定势干扰，把不等式的基本性质 2、 3 合在一起，错误地认为“不等式两边都乘（或除以）同一个不等于0 的数，不等号的方向不变”，而不管两边都乘（或除以）的数是正数还是负数，一律不改变不等号的方向。比如，在解第（4）小题时，虽然在原不等式的两边都乘5（除以1 ），但是并不5改变不等号的方向，得到x 5 的错误结果。例 2 不等式 x 3 与 x 3有什么不同？在数轴上表示它们时怎样区别？分别在数
4、轴上把这两个解集表示出来 .【分析】本例考查的是在数轴表示不等式的解集，这是解不等式或不等式组的基础.【解题思路 】本例中的两个解集 x 3 与 x 3区别在不等号上，值得注意的是用“ x a ”或者 “ x a ”形式表示的解集中包括 a 这个数；而用“ x a ”或者“ x a ”形式表示的解集中不包括 a 这个数。它们在数轴上表示的方法也不相同，用“x a ”或者“ x a ”形式表示的解集在数轴上表示时，数字 a 处画一个实心的圆点“”，而用“ x a ”或者“ x a ”形式表示的解集在数轴上表示时，数字 a 处画一个空心的圆圈“。”.在数轴上表示解集时，“大于”的要顺着数轴的正方向画，“小于”的要逆着数轴的正方向画.解：不等式 x 3 的范围内不包括3，而不等式 x 3的范围内包括3. ，在数轴上表示x3 时，在表示3 的点的位置画一个空心的圆圈“”，如图1 所示；表示x 3时，在表示 3 的点的位置画一个实心的圆点“”，如图2 所示 .【跳出误区 】在解本题时， 要注意区分起点处使用的实心圆点“”或者空心圆圈“”，不能搞混 .可以这样理解： 实心圆点“”表示包括这个点所表示的数，而空心圆圈“”表示不包括这个点所表示的数.在数轴上表示解集时画的方向，则符合了“数轴上右边的数一定大于左边的数”的道理.
