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1、立方根教学设计教学目标:()知识目标1.了解立方根的概念,会用根号表示一个数的立方根.2.能用立方运算求某些数的立方根,了解开立方与立方互为逆运算.3. 了解立方根的性质 .4. 区分立方根与平方根的不同 .(二)能力目标1. 在学了平方根的基础上,要求学生能用类比的方法学立方根的有关知识,领会类比思想 .2. 发展学生的求同求异思维 .教学重点:1立方根的概念.教学难点:1. 正确理解立方根的概念 .2. 会求一个数的立方根 .3. 区分立方根与平方根的不同之处. 教学过程:一、课前布置1 自学:阅读课本,试着做一做本节练,在自学中发现的问题(鼓励提问)2 在自学的基础上对照1.1 的学过程
2、试着用类比的方法提炼本小节学的主要内容.二、学情诊断1. 了解学生原有认知机构,解答学生的问题.2. 学生能用类比的方法提炼本小节的主要内容:( 1)立方根的概念( 2)立方根的性质( 3)开立方与开平方互为逆运算,求一个数的立方.三、师生互动(一)对学生提炼的主要内容展开说明,加深理解.师 1. 能不能根据平方根的写法来类推立方根的记法呢?若 x 的平方等于 a,则 x 叫 a 的平方根, 记作 x= 2 a ,读作 x 等于正、 负二次根号 a,简称为 x 等于正,负根号 a.若 x 的立方等于a,则 x 叫 a 的立方根, 记作 x= 3 a ,读作 x 等于正、 负三次根号a,简称 x
3、 等于正、负根号a.生因为乘方与开方是互为逆运算,求立方根可通过逆运算立方来求,如 x3=8,因为 23=8,所以 x=2,只有一个根而不是 2,所以立方根的个数不正确 . 师 同学们分析非常有道理,我们修正一下立方根的概念,试一试生 若一个数 x 的立方等于 a,即 x3=a,那么这个数 x 就叫做 a 的立方根 ( cube root ;也叫三次方根 ) 如 2 是 8 的立方根,记为 x= 3 a ,读作 x 等于三次根号 a.师 2. 你是怎么理解开立方是立方的逆运算生 正如开平方运算是平方运算的逆运算一样,开立方运算也是立方运算的逆运算,例如: 33? 这是求 3 的三次幂等于 27
4、, 27 叫做幂,属乘方运算,3 27 ? 这是求27 的三次方根等于3, 3 叫做立方根,属开立方运算。生利用 开立方运算是立方运算的逆运算,可以通过立方的方法求一个数的立方根.练:1 . 求下列各数的立方根:( 1)512;( 2) 343;( 3) 0.729 ;(4) 27 ;8( 5)2 10 ;( 6) 0.125 。27解:( 1) 83512 , 512 的立方根为8,即 35128。( 2) ( 7)3343, 343 的立方根为 7,即 33437 。( 3)0.930.729, 0.729 的立方根是0.9 ,即 30.7290.9。( 4) ( 3 ) 327,27 的
5、立方根是3 ,即 3273。288282( 5)2 1064 , ( 4)364 ,272732764的立方根是4,即 32 104。273273( 6) 0.530.125 , ( 0.5)30.125 , 0.125的立方根是0.5 ,即 30.1250.5 。师 由以上的结果想一想正数有几个立方根?0 有几个立方根?负数有几个立方根?生 正数有一个立方根,0 有一个立方根是0,负数有一个立方根 .师这就是立方根的性质,进一步明确一些:正数有一个正的立方根、负数有一个负的立方根, 0 的立方根是0.(二)鼓励学生讲解教师提供的例题 . (例题的设置是分层的,安排不同基础的学生尝试讲解,教师
6、予以补充)例 1判断下列语句的正确与否,并说明理由.( 1)0.125 的立方根是 0.5 ;( 2) 3 a 不可能是负数;( 3)如果 a 是 b 的立方根,那么 ab 0;( 4)若一个数的平方根与其立方根相同,则这个数是1.分析 :一个数的立方根是唯一的,而正数的平方根有两个, 它们互为相反数, 不注意这一点,往往容易出错 .解:( 1)正确,因为0.5 3 0.125,所以, 0.125 的立方根是 0.5.( 2)不正确,根据立方根的概念,当a 是负数时,就有一个负的立方根,即3 a 就是负数 .( 3)正确,因为,若b 是正数,它的立方根a 也是正数;若b 是负数,它的立方根,即
7、 a 也是负数;如果b 是零,它的立方根a 是零,所以,不论哪种情况,都有ab 0.( 4)不正确,一个正数的立方根只有一个数,平方根均有两个数,而平方根只有一个数的是0,0 的立方根也是0,故一个数的平方根与立方根相同,那么这个数是0.例 2 求下列各式的值:( 1)3216 ;( 2)3 10.973 ; ( 3)3 5 10(4)3 24 45200 ;27分析:注意应用公式 3a 3 a 并依顺序进行计算. 将数化为3 次幂是进行开立方运算的要点 .解:( 1)3216(3216 )(6)6 .( 2)3 10.97330.0270.3 .351034 1731255( 3)27272
8、73 .( 4)3 24452003 233532210232333103231060例 3 求下列各式中的 x:( 1)( 3x2) 3 1 61 ;(2)81 25x3 11664分析: 本题以方程形式出现,实质上是求一个数的立方根. 应注意整体思想的运用,在(1)中,把 3x 2 当做一个整体,先求出3x 2 的值,再求出 x.361解:( 1)因为( 3x2) 1,所以( 3x 2) 3 125 ,即643x 25 ,所以43x3 ,即4x1 ;4( 2)81 25x3 116,即9 25x3 116所以25x3 125,即 x3 5,所以x35(三) 师生共析引导学生小结:1理解立方
9、根的意义,可以从以下两个方面考虑.( 1)由定义知,一个数b 是另一个数a 的立方根,必须有等式b3 a 成立,从而也给出了求一个数的立方根的方法.( 2)注意立方根与平方根的区别:对于立方根,被开方数 a 没有限制,换句话说,正数、负数、零都有唯一确定的立方根;而对于平方根,被开方数 a 必须是非负数,也就是说,负数没有平方根,并且任何正数的平方根有两个,它们互为相反数,理解了以上两点,我们就可以求一个数的立方根了 .2. 平方根与立方根的联系与区别.联系:(1)0的平方根、立方根都有一个是0.(2) 平方根、立方根都是开方的结果.区别:(1) 定义不同:“如果一个数的平方等于 a,这个数就
10、叫做 a 的平方根”;“如果一个数的立方等于 a,这个数就叫做 a 的立方根 . ”(2) 个数不同:一个正数有两个平方根,一个正数有一个立方根;一个负数没有平方根,一个负数有一个立方根 .(3) 表示法不同正数 a 的平方根表示为a , a 的立方根表示为3 a .(4) 被开方数的取值范围不同a 中的被开方数a 是非负数; 3 a 中的被开方数可以是任何数.3开立方:求一个数的立方根的运算叫做开立方。开立方与立方互为逆运算。4互为相反数的数的立方根也互为相反数,即3a3 a .四、补充练作业:题分层练基础知识1选择题( 1)下列说法正确的是()A一个数的立方根有四个,它们互为相反数B一个数的立方根比平方根小C一个不为零的数的立方根和这个数同号,零的立方根仍旧是零D负数没有立方根( 2)若一个数的算术平方根与其立方根相同,则这个数是()A 1B0 或 1C 0D 0、 1 或 -1( 3)64 的立方