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1、精锐教育学科教师辅导讲义年 级：高三 辅导科目： 数学 课时数：3课 题 坐标平面上的直线（二）教学目的1、理解直线的倾斜角和斜率的概念；2、掌握过两点的直线的斜率公式，掌握由一点和斜率导出直线方程的方法；3、掌握直线方程的点斜式、两点式和直线方程的一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程，理解直线方程的几种常见应用。教学内容【知识梳理】1、 直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴_的直线，如果把x轴绕着_按_时针方向旋转到和直线_时所转的_，叫做直线的倾斜角。当直线和x轴_或_时，规定直线的倾斜角为_。因此，直线倾斜角的范围是_。2、 斜率：倾斜角_的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直
2、线的斜率。求直线斜率的两种常用方法是：（）定义： （）斜率公式： 3、 直线方程的几种形式：名称形式适用范围点斜式斜截式两点式截距式一般式几种特殊的直线方程：平行于轴的直线；轴平行于y轴的直线；y轴经过原点的（不包括坐标轴）的直线4、 对直线方程中的基本概念，要重点掌握好直线方程的特征值(主要指斜率、截距)等问题；直线平行和垂直的条件；与距离有关的问题等 5、对称问题是直线方程的一个重要应用，中学里面所涉及到的对称一般都可转化为点关于点或点关于直线的对称 中点坐标公式和两条直线垂直的条件是解决对称问题的重要工具 6、线性规划是直线方程的又一应用 线性规划中的可行域，实际上是二元一次不等式(组)
3、表示的平面区域 求线性目标函数z=ax+by的最大值或最小值时，设t=ax+by,则此直线往右(或左)平移时，t值随之增大(或减小)，要会在可行域中确定最优解 7、由于一次函数的图象是一条直线，因此有关函数、数列、不等式、复数等代数问题往往借助直线方程进行，考查学生的综合能力及创新能力【典型例题分析】例DBA左边线1、北京时间2006年6月14日凌晨3点，巴西队和克罗地亚队在德国世界杯小组赛首场比赛中激战正酣，突然，巴西著名前锋罗纳尔迪尼奥 断球后迅速沿左边线带球疾进（如图）问：他若想射门，在C何处起脚进球的可能性最大？解：建立如图所示的直角坐标系，设足球场的宽为BE=米，球门的宽CD=米，（
4、），易得BD=米。再设该球员在距离对方底线米处的A点射门时进球的可能性最大，即求为多少米时，CAD取得最大值。tanBAD=, tanCAD=当且仅当=4x，即x=时，等号成立，此时CAD取最大值，此时该球员应在距离对方底线米处的A点射门时进球的可能性最大例2、预算用2000元购买单件为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌椅的总数尽可能的多，但椅子不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌、椅各买多少才行？（文科）解：设桌、椅分别买x、y张，由题意得约束条件为由A点的坐标为(，)由B点的坐标为(25，)所以满足约束条件的可行域是以A(，)，B(25，)，O(0，0)为顶点的三角形区域(如右图
5、)由图形直观可知，目标函数z=x+y在可行域内的最优解为(25，)，但注意到xN*，yN*,故取y=37.所以应买桌子25张，椅子37张是最好选择.例3、直线2xy4=0上有一点P，它与两定点A(4，1)，B(3，4)的距离之差最大，则P点坐标是_.解：找A关于l的对称点A，AB与直线l的交点即为所求的P点. 答案：P(5，6)例4、已知|a|1,|b|1,|c|1,求证：abc+2a+b+c.证：构造线段的方程为y=f(a)=(bc1)a+2bc,其中|b|1,|c|1,|a|1,且1b1.f(1)=1bc+2bc=(1bc)+(1b)+(1c)0f(1)=bc1+2bc=(1b)(1c)0
6、线段y=(bc1)a+2bc(1a1在a轴上方，这就是说，当|a|1,|b|1,|c|1时，恒有abc+2a+b+c.例5、设M=，试比较M与N的大小。解：将问题转化为：比较过A(1，1)、B(102001，102000)及过A(1，1)、C(102002，102001）连线的斜率大小，因为B、C两点的直线方程为y=x，点A在直线的下方，kABkAC,即MN.例6、设数列an的前n项和Sn=na+n(n1)b，(n=1,2,),a、b是常数且b0.(1)证明：an是等差数列.(2)证明：以(an,1)为坐标的点Pn(n=1,2,)都落在同一条直线上，并写出此直线的方程.证：(1)由条件，得a1
7、=S1=a,当n2时，有an=SnSn1=na+n(n1)b(n1)a+(n1)(n2)b=a+2(n1)b.因此，当n2时，有anan1=a+2(n1)ba+2(n2)b=2b.所以an是以a为首项，2b为公差的等差数列.(2)b0,对于n2,有所有的点Pn(an,1)(n=1,2,)都落在通过P1(a,a1)点，且以为斜率的直线上，此直线方程为y(a1)= (xa),即x2y+a2=0.【课堂小练】1 设M=，则M与N的大小关系为( )A MN B M=N C MN D 无法判断2 三边均为整数且最大边的长为11的三角形的个数为( )A 15B 30C 36D 以上都不对3 直线2xy4=
8、0上有一点P，它与两定点A(4，1)，B(3，4)的距离之差最大，则P点坐标是_ 4 自点A(3，3)发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2+y24x4y+7=0相切，则光线l所在直线方程为_ 5 函数f()=的最大值为_，最小值为_ 6 设不等式2x1m(x21)对一切满足|m|2的值均成立，则x的范围为_ 7 已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图象交于A、B两点，分别过点A、B作y轴的平行线与函数y=log2x的图象交于C、D两点 (1)证明 点C、D和原点O在同一直线上 (2)当BC平行于x轴时，求点A的坐标 8 设数列an的前n项和Sn=na+n(n1
9、)b，(n=1,2,),a、b是常数且b0 (1)证明 an是等差数列 (2)证明 以(an,1)为坐标的点Pn(n=1,2,)都落在同一条直线上，并写出此直线的方程 (3)设a=1,b=,C是以(r,r)为圆心，r为半径的圆(r0)，求使得点P1、P2、P3都落在圆C外时，r的取值范围 答案:1 解析 将问题转化为比较A(1，1）与B(102001，102000）及C(102002，102001）连线的斜率大小，因为B、C两点的直线方程为y=x，点A在直线的下方，kABkAC,即MN 答案 A2 解析 设三角形的另外两边长为x,y,则点(x,y）应在如右图所示区域内当x=1时，y=11；当x
10、=2时，y=10,11；当x=3时，y=9,10,11；当x=4时，y=8,9,10,11;当x=5时，y=7,8,9,10,11 以上共有15个，x,y对调又有15个，再加上(6，6），(7，7），(8，8），(9，9），(10，10）、(11，11）六组，所以共有36个 答案 C3 解析 找A关于l的对称点A，AB与直线l的交点即为所求的P点 答案 P(5，6）4 解析 光线l所在的直线与圆x2+y24x4y+7=0关于x轴对称的圆相切 答案 3x+4y3=0或4x+3y+3=05 解析 f()=表示两点(cos,sin)与(2,1)连线的斜率 答案 06 解析 原不等式变为(x21)m+
11、(12x)0,构造线段f(m)=(x21)m+12x,2m2,则f(2)0,且f(2)0 答案 7 (1)证明 设A、B的横坐标分别为x1、x2，由题设知x11,x21,点A(x1,log8x1),B(x2,log8x2) 因为A、B在过点O的直线上，所以,又点C、D的坐标分别为(x1,log2x1）、(x2,log2x2) 由于log2x1=3log8x1,log2x2=3log8x2,则由此得kOC=kOD,即O、C、D在同一直线上 (2)解 由BC平行于x轴，有log2x1=log8x2,又log2x1=3log8x1 x2=x13将其代入,得x13log8x1=3x1log8x1,由于
12、x11知log8x10,故x13=3x1x2=,于是A(，log8) 8 (1)证明 由条件，得a1=S1=a,当n2时，有an=SnSn1=na+n(n1)b(n1)a+(n1)(n2)b=a+2(n1)b 因此，当n2时，有anan1=a+2(n1)ba+2(n2)b=2b 所以an是以a为首项，2b为公差的等差数列 (2)证明 b0,对于n2,有所有的点Pn(an,1)(n=1,2,)都落在通过P1(a,a1)且以为斜率的直线上 此直线方程为y(a1)= (xa),即x2y+a2=0 (3)解 当a=1,b=时，Pn的坐标为(n,),使P1(1,0)、P2(2, )、P3(3,1)都落在
13、圆C外的条件是 由不等式,得r1由不等式，得r或r+由不等式，得r4或r4+再注意到r0,14=+4+故使P1、P2、P3都落在圆C外时，r的取值范围是(0，1)(1,)(4+,+) 【课堂总结】由特殊直线方程可直接确定其倾斜角。由直线方程可确定其斜率和轴上的截距。借助直线方程可解决涉及面积的问题，以直线方程形式的数学建模可解决与直线拟合的实际问题。【课后练习】1. 直线的倾斜角范围是（ ）A. B. C. D.2.过点A（1，4）且纵横截距的绝对值相等的直线共有（ ）A.1条 B.2条 C.3条 D.4条3.三点A（0，-k）B（2，3）C（2k，-1）共线，则k=（ ）A.-1 B.1 C.2 D.-24.光线有点P（2，3）射到直线上，反射后过点Q（1，1），则反射光线方程式（ ）A. B. C. D. 5.已知点A（1，3）B（-2，-1），若直线l：与线段AB相交，则k的取值范围（ ）A. B. C. 或 D.6.设集合A= B 若，则实数a=（ ）A.-2 B.4
