《公务员考试资料QZZN论坛装错信封问题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《公务员考试资料QZZN论坛装错信封问题（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、公务员考试资料QZZN论坛装错信封问题 作者： 日期：2 装错信封问题1 问题的提出1)同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡则四张贺年卡的不同分配方式有 A6种 B9种 C11种 D23种2)有5个客人参加宴会，他们把帽子放在衣帽寄放室内，宴会结束后每人戴了一顶帽子回家回家后，他们的妻子都发现他们戴了别人的帽子问5个客人都不戴自己帽子的戴法有多少种？上述两个问题，实质上是完全一样的是被著名数学家欧拉(Leonhard Euler，17071783)称为“组合数论的一个妙题”的“装错信封问题”的两个特例“装错信封问题”是由当时最有名的数学家约翰伯努利(Johan
2、n Bernoulli，16671748)的儿子丹尼尔伯努利(DanidBernoulli，17001782)提出来的，大意如下：一个人写了n封不同的信及相应的n个不同的信封，他把这n封信都装错了信封，问都装错信封的装法有多少种？2 建立数学模型“装错信封问题”及两个特例，其实就是n个不同元素的一类特殊排列问题，本文试就给出这类问题的数学模型及求解公式为方便，我们先把n个不同的元素及相应的位置都编上序号1，2，n，并且约定：在n个不同元素的排列中1 若编号为i(i=1，2，n)的元素排在第i个位置，则称元素i在原位；否则称元素i不在原位2 若所有的元素都不在原位，则称这种排列为n个不同元素的一
3、个错排(若每个元素都在原位则称为序排)按照上面约定，“装错信封问题”即为n个不同元素的错排问题，则可构建“装错信封问题”的数学模型为在n个不同元素的全排列中，有多少种不同的错排？3 模型求解应用集合中的容斥原理，我们就可得到“装错信封问题”的数学模型的求解公式设I表示n个不同元素的全排列的集合Ai(i=1，2，n)为元素i在原位的排列的集合AiAj(1ijn)为元素i与j在原位的排列的集合A1A2An为n个元素的序排的集合则它们的排列数(即各个集合中元素的个数)分别为|I|=n！|Ai|=(n1)！|AiAj|=(n2)！|A1A2An|=(nn)！=0！所以，根据容斥原理即得“装错信封问题”
4、的数学模型的求解公式(即n个不同元素的错排数)为4 应用举例一个元素的错排数显然为0，二个不同元素的错排数为1，三个不同元素的错排数为2，均可由公式验证，由公式还可求得四个不同元素的错排数为五个不同元素的错排数为则本文开头的问题1)共有9种不同的分配方式，故选(B)问题2)共有44种不同的戴法，下面再举几例说明公式的应用例1设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个球投放入五个盒内，要求每个盒内投放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同，则这样的投放方法的总数为 A20种 B30种C60种 D120种解 本题实质上是三个元素的错排问题，但由于题中未指明是哪三个元素进行的错排，故本题可分两步求解第二步，对已选出的三个元素进行错排，有2种例2 某省决定对所辖8个城市的党政一把手进行任职交流，要求把每个干部都调到另一个城市去担任相应的职务问共有多少种不同的干部调配方案？解 实质上本题即为8个不同元素的错排问题，一种干部调配方法对应于8个不同元素的一个错排故由公式可求得不同的干部调配方案数为6 / 6
