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1、.2009 年普通高等学校招生全国统一考试（2 全国卷） 数学(理)试题一、选择题 ( 本大题 共 12 题, 共计 60 分)1、=()A-2+4iB-2-4iC2+4iD2-4i2、设集合 A=x|x3,B=x|,则 AB=()AB(3,4)C(-2,1)D(4,+)3、已知ABC 中，,则 cosA=()ABCD4、曲线在点（1,1)处的切线方程为()Ax-y-2=0Bx+y-2=0Cx+4y-5=0Dx-4y-5=05、已知正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，AA1=2AB,E 为 AA1 中点，则异面直线BE 与 CD1 所成角的余弦值为()ABCD,6、已知向量 a=(2,1)
2、,ab=10,|a+b|=AB7、设 a=log3,则|b|=()C5D25,则()Aa bcBa cbCb acDbca8、若将函数 y=tan()(0)的图象向右平移 个单位长度后，与函数word 可编辑.y=tan()的图象重合，则 的最小值为()ABCD9、已知直线 y=k(x+2)(k0)与抛物线 Cy2=8x 相交于AB 两点，F 为C 的焦点.若|FA|=2|FB|,则 k=()ABCD10、甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门,则甲、乙所选的课程中至少有 1 门不相同的选法共有()A6种B12种C30种D3种611、已知双曲线 C交 C 于 AB 两点.若(a0,b0)的右
3、焦点为 F,过F 且斜率为，则 C 的离心率为()的直线ABCD12、纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上 、下、东、南、西、北.现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平,得到右侧的平面图形,则标“”的面的方位是()A南B北C西D下二、填空题 ( 本大题 共 4 题, 共计 20 分)13、（)4 的展开式中 x3y3 的系数为.word 可编辑.14 、设等差数列a 的前 n 项和为 Snn,若 a =5a5.则=.315 、设 OA 是球 O 的半径，M 是 OA 的中点,过 M 且与 OA 成 45角的平面截球O 的表面得到圆 C,若圆 C 的面积等于,则球 O 的表面积等
4、于.16 、已知AC,BD 为圆O:x2+y 2=4 的两条相互垂直的弦,垂足为M(1, ABCD 的面积的最大值为.三、解答题 ( 本大题 共 6 题, 共计 70 分),则四边形17 、 (10 分 ) 设 ABC的 内 角 A,B,C 的 对 边 长 分 别 为a,b,c,cos(A-C)+cosB= ,b2=ac,求 B1 1 11118 、(12 分)如图,直三棱柱 ABC A B C 中,ABAC,D 、E 分别为AA 、B C 的中点,DE平面 BCC 1.()证明:AB=AC;()设二面角 A-BD-C 为 60求,B C 与平面 BCD 所成的角的大小.1word 可编辑.1
5、9、(12 分)设数列an的前 n 项和为 Sn,已知 a1=1,Sn+1=4an+2. ()设 bn=an+1-2an,证明数列bn是等比数列;()求数列an的通项公式.20、(12 分)某车间甲组有 10 名工人,其中有 4 名女工人;乙组有 5 名工人,其中有3 名女工人,现采用分层抽样方法(层内采用不放回简单随机抽样)从甲、乙两组中共抽取 3 名工人进行技术考核.()求从甲、乙两组各抽取的人数;()求从甲组抽取的工人中恰有 1 名女工人的概率;()记 表示抽取的 3 名工人中男工人数,求 的分布列及数学期望.21、(12 分)已知椭圆 C(ab0)的离心率为 ,过右焦点 F 的直线wo
6、rd 可编辑.l 与 C 相交于 AB 两点,当 l 的斜率为 1 时,坐标原点 O 到 l 的距离为.()求 a,b 的值;()C 上是否存在点P,使得当l 绕F 转到某一位置时,有求出所有的 P 的坐标与 l 的方程;若不存在,说明理由.22、(12 分)设函数=x2+aln(1+x)有两个极值点 x1,x2,且 x1x2.成立?若存在,()求 a 的取值范围,并讨论的单调性;2()证明: f (x) 1- 2In2 .42009 年普通高等学校招生全国统一考试（2 全国卷）数学(理)试题答案解析:一、选择题 ( 本大题 共 12 题, 共计 60 分)1、(5 分) A解析:.故选 Aw
7、ord 可编辑.2、(5 分) B解析:(x-1)(x-4)0,1x4,即 B=x|1x4,AB=(3,4).故选 B3、(5 分) D解析:,A 为钝角.又, .代入 sin2A+cos2A=1,求得.故选 D4、(5 分) B解析:,y|x=1=-1.切线的斜率 k=-1.切线方程为 y-1=-(x-1),即 x+y-2=0.故选 B5、(5 分) C解析:如图所示,连接 A1B,因 A1D1BC,所以四边形 A1BCD1 为平行四边形，所以 A1BD1C,则异面直线 BE 与 CD1 所成的角即为 BE 与 BA1 所成的角.word 可编辑.不妨设 AB=1,则 AA1=2,设ABE=
8、,ABA1=,则,.cos(-)=coscos+sinsin=6、(5 分) C解析:设 b=(x,y), 由得.故选 C解方程组得则|b|=7、(5 分) A或.故选 C解析:a=log3log33=1,.abc.故选 A8、(5 分) D解析:将函数 y=tan()(0)的图象向右平移 个单位,得 y=tan(),又因平移后函数的图象与 y=tan()的图象重合,(kZ),即,word 可编辑. 当 k=0 时, 9、(5 分) D,即 的最小值为.故选 D解析:设 A(x1,y1),B(x2,y2),由题意得 k2x2+(4k2-8)x+4k2=0,=16(k2-2)2-4k24k20.
9、得-1k1,即 0k1,x1x2=4.又 |FA|=2|FB|, 由 抛 物 线 定 义 , 知 F(2,0), 抛 物 线 的 准 线 方 程 为x=-2,|FA|=x1+2,|FB|=x2+2,x1+2=2x2+4,即 x1=2x2+2.代入 x1x2=4,得x22+x2-2=0,x2=1,或 x2=-2(舍去,因 x20).x1=21+2=4.又 0k1,10、(5 分) C.故选 D解析:由题意知甲、乙所选的课程有一门相同的选法为 种，甲、乙所选的课程都不相同的选法有种，所以甲、乙所选的课程中至少有一门不相同的选法共有 24+6=30 种.故选 Cword 可编辑.11、(5 分) A
10、解析:设 A(x1,y1),B(x2,y2),F(c,0),由,得(c-x1,-y1)=4(x2-c,y2),y1=-4y2.设过 F 点斜率为的直线方程为,则有将 y1=-4y2 分别代入得化简得.化简得 16c2=9(3a2-b2)=9(3a2-c2+a2).25c2=36a2. ,即.word 可编辑.12、(5 分) B解析:如右图所示正方体,要展开成要求的平面图,必须剪开棱BC,剪开棱D1C1 使正方形 DCC1D1 向北的方向展平.剪开棱 A1B1,使正方形 ABB1A1 向南的方向展开,然后拉开展平,则标“”的面的方位则为北.故选 B二、填空题 ( 本大题 共 4 题, 共计 2
11、0 分)13、(5 分) 6解析:设展开式中第 r+1 项为 x3y3 项,由展开式中的通项,得=.令,得 r=2.系数为. 14、(5 分) 9解析:由 a5=5a3,得,.15、(5 分) 8解析: 如图所示 , 设球半径为 R, 球心 O 到截面圆的距离为d, 在 RtONBword 可编辑.中,d2=R2-BN2.又BN2= ,.在ONM 中,d=OMsin45=,将代入得S=4R2=8.球16、(5 分) 5,R2=2.解析：如图所示,设|ON|=d1,|OP|=d2,则 d12+d22=|OM|2=12+()2=3.在ONC 中,d12=|OC|2-|CN|2=4-|CN|2,.同
12、理在OBP 中,.四边形S=SCAD+SCAB=.当且仅当 d1=d2 时取等号,即 d1=d2=时取等号.word 可编辑.三、解答题 ( 本大题 共 6 题, 共计 70 分)17、(10 分) 解:由 cos(A-C)+cosB=及 B=-(A+C)得cos(A-C)-cos(A+C)= ,cosAcosC+sinAsinC-(cosAcosC-sinAsinC)= ,.又由 b2=ac 及正弦定理得sin2B=sinAsinC故,或(舍去),于是或.又由 b2=ac 知 ba 或 bc, 所以.18、(12 分) 解法一:()取 BC 的中点 F,连接 EF,则 EF,从而 EFDA连接 AF,则 ADEF 为平行四边形,从而 AFDE 又 DE平面 BCC1,故 AF平面 BCC1,word 可编辑.从而 AFBC,即 AF 为 BC 的垂直平分线, 所以 AB=AC,()作 AGBD,垂足为 G,连接 CG.由三
