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1、1992年A题农作物施肥效果分析 某研究所为了研究N、P、K三种肥料对于土豆和生菜的作用，分别对每种作物进行了三组实验，实验中将每种肥料的施用量分为10个水平，在考察其中一种肥料的施用量与产量关系时，总是将另二种肥料固定在第7个水平上，实验数据如下列表格所示，其中ha表示公顷，t表示吨，kg表示千克，试建立反映施肥量与产量关系的模型，并从应用价值和如何改进等方面作出评价施肥量与产量关系的实验数据土豆：N施肥量(kg/ha)产量(t/ha)015183421366725721013229135340320239452594315336434640440834713075P施肥量(kg/ha)产量
2、(t/ha)0334624324749360673379698410414740091964126245421729440363424273K施肥量(kg/ha)产量(t/ha)018984727359334861403852186384427937733723843465438755842776514622生菜： N施肥量(kg/ha)产量(t/ha)01102281270561456841627112177516822592242163280193433616123921411P施肥量(kg/ha)产量(t/ha)06394994898124614714331961710294219439
3、12264489213458722076852453K施肥量(kg/ha)产量(t/ha)015754716769316891401624186175627919203721797465158455820116511940一、 合理假设1 研究所的实验是在相同的正常实验条件（如充足的水分供应，正确的耕作程序）下进行的，产量的变化是由施肥量的改变引起的，产量与施肥量之间满足一定的规律.2 土壤本身已含有一定数量的氮、磷、钾肥，即具有一定的天然肥力.3 每次实验是独立进行的，互不影响.符号说明：W：农作物产量.x：施肥量.N、P、K：氮、磷、钾肥的施用量.Tw：农产品价格.Tx：肥料价格.Tn,T
4、p,Tk：氮、磷、钾肥的价格.a,b,b0,b1,b2,c,c0,c1,c0,c1：常数（对特定肥料，特定农作物而言）.二、 问题分析农学规律2表明，施肥量与产量满足下图所示关系，它分成三个不同的区段，在第一区段，当施肥量比较小时，作物产量随施肥量的增加而迅速增加，第二区段，随着施肥量的增加，作物产量平缓上升，第三区段，施肥量超过一定限度后，产量反而随施肥量的增加而下降.图14-1 施肥量与产量的一般关系为考察氮、磷、钾三种肥料对作物的施肥效果，我们以氮、磷、钾的施用量为自变量；土豆和生菜的产量为因变量描点作图.从中看出，氮肥对于作物产量的贡献大致呈指数关系，磷肥对于作物产量的关系大致为分段直
5、线形式，至于钾肥，对土豆而言，大致呈指数关系，对生菜而言，随着施用量的增加，产量的上升幅度很小.这样，我们得到了对施肥效果的定性认识.在长期的实践中，农学家们已经总结出关于作物施肥效果的经验规律，并建立了相应的理论3.1. Nicklas和Miller理论：设h为达到最高产量时的施肥量，边际产量（即产量W对施肥量x的导数）与(h-x)成正比例关系.dW/dx=a(h-x),(1)从而 W=b0+b1x+b2x2.(2)2.米采利希学说：只增加某种养分时，引起产量的增加与该种养分供应充足时达到的最高产量A与现在产量W之差成正比.dW/dx=c(A-W),(3)从而 W=A（1-exp(-cx)）
6、.(4)考虑到土壤本身的天然肥力，上式可修正为W=A（1-exp(-cx+b)）.(5)3英国科学家博伊德发现，在某些情况下，将施肥对象按施肥水平分成几组，则各组的效应曲线就呈直线形式.若按水平分成二组，可以用下式表示：（6）我们假设该研究所的实验是在正常条件下进行的，因而表14-1所示的施肥量与产量的数据应该满足上述规律（对不同肥料，不同作物而言可以满足不同的规律）.以这些理论为依据，就可以对作物施肥效果进行回归分析.从实验设计的角度来看，该研究所采用的设计方案是因素轮换法，即在考察每一种肥料的效应时，总将另二种肥料的施用量固定在第7个水平上.采用这种设计方法，无法估算出三种肥料间的交互效应
7、，因此，我们将每组实验看成单因素实验，并根据实验结果，给出反映施肥量与产量关系的一元肥料效应方程及效应曲线.三、 模型与结果我们建立了一元肥料效应回归模型，并在回归分析之前，用Chauvenent准则进行修正，剔除异常值.根据对问题的初步分析，氮肥的施肥效果应满足Nicklas和Miller理论所描述的关系，运用二次多项式回归，得到氮肥对土豆的效应方程：W=14.74+0.197n-0.00034n2.（7）氮肥对生菜的效应方程：W=10.23+0.101n-0.00024n2.（8）氮肥的效应曲线如图14-2，图14-3所示磷肥的施用对作物产量的增加表现为分段直线形式，运用线性回归，得到磷肥
8、对土豆的效应方程：（9）磷肥对生菜的效应方程：（10）磷肥对作物的效应曲线如图14-4，图14-5所示.从钾肥对土豆的实验数据可以看出，当施用量超过一定限度后，产量的增加很不明显，因此用（5）式来描述其施肥效果是合理的，用指数回归分析得到钾肥对土豆的效应方程：W(k)=42.17(1-exp(-0.01k-0.641).(11)对生菜来说，钾肥的施用对产量的影响很小.通过线性回归得到钾肥对生菜的效应方程：W（k）=16.2269+0.00395k.(12)钾肥对生菜的效应曲线如图14-6，图14-7所示.可以得到每种肥料的最佳施用量，这无疑为生产提供了极为重要的信息.此外，模型的建立并不依赖于
9、任何特殊条件，这种方法可以适用于任何地区，考察任意一种肥料对于作物产量的效应，具有一定的推广价值.本文没有给出三种肥料用量的最佳组合，因为试验方法本身决定了无法估计肥料的交互效应，因而无法计算最佳施肥比例.如果对实验方法加以改进，可以将我们的模型推广为总效应模型，并根据下列式子（当肥料的边际产量之比等于其价格的反比时，即为肥料施用量的最佳配比）来计算最佳施肥比例：（14）七、关于交互效应的深入讨论和实验方法的建议在农业学中4，可以用三元二次多项式来描述氮、磷、钾三种肥料的综合施肥效果，用下列式子表示：W（N，P，K）=B0+BNN+BPP+BKK+BNNN2+BPPP2+BKKK2+BNPNP
10、+BNKNK+BKPKP可以用回归的方法，求出回归系数，但对本题而言，下列处理1表明，交互系数是无法确定的，由于所给出的实验全都分布于三条平行于坐标轴的直线上，并且这三条直线交于公共点（n0,p0,k0），以n=N-n0,p=P-p0,k=K-k0作为现的变量，称为相对施肥量，则相对产量W(n,p,k)可表示为w(n,p,k)=b0+bnn+bpp+bkk+bnnn2+bppp2+bkkk2+bnpnp+bnknk+bkpkp.在新的坐标系中，所有的试验点都在坐标轴上，至少有两个坐标为0，这样所有的交叉项全消失了，即不可能由实验结果来确定交互系数，因而试验方法本身注定了交互效应是无法求出的.为
11、估计肥料的交互效应，我们建议该研究所进行正交试验设计5，将氮、磷、钾肥的用量以第7个水平为中心等问题分为五个水平，作一个五水平三因子的正交表，总共需进行15次实验，将所得数据运用直观分析和方差分析，可以方便地得到氮、磷、钾肥对作物的总效应.试验安排如下.表 正交设计表 因素试验号NPK 因素试验号NPK117914627293561963722179146472101611963723179246272112592573724179246472122591353725339146272132591964946339146472142591962507339246272152591963728339246472
