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1、解答排列组合应用题的常用方法（一）教学目标：要求学生在掌握分步计数原理与分类计数原理的基础上，能用它们分析和解决一些简单的应用问题。要求学生掌握并能灵活运用解应用题的一些常用方法。教学重难点：题型的分析和方法的灵活选用。教材分析：解决排列组合问题首先必须分清它是排列问题还是组合问题；其次，分析求解过程要注意掌握处理排列与组合问题的基本思想，即按元素的性质分类或按事件发生过程分步。另外，对于同一个问题应从多个角度去思考，一题多解，这样既可防止重复与遗漏问题，又可提高分析问题的能力。解排列组合应用题，首先必须认真审题，明确问题是排列问题，还是组合问题，其次是抓住问题的本质特征，灵活运用基本原理和公
2、式进行分析解答，同时，还要注意讲究一些基本策略和方法技巧，使一些看似复杂的问题迎刃而解。教学过程：总的原则合理分类和准确分步解排列（或）组合问题，应按元素的性质进行分类，事情的发生的连续过程分步，做到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。例1 、6个同学和2个老师排成一排照相， 2个老师站中间，学生甲不站排头，学生乙不站排尾，共有多少种不同的排法？练 习（1）0，1，2，3，4，5可组成多少个无重复数字的五位偶数？（2）0，1，2，3，4，5可组成多少个无重复数字且能被五整除的五位数？（3）0，1，2，3，4，5可组成多少个无重复数字且大于31250的五位数？（4）31250是由0，1，2，3
3、，4，5组成的无重复数字的五位数中从小到大第几个数？解题方法（一）特殊优先，一般在后对于问题中的特殊元素、特殊位置要优先安排。对实际问题，有时“元素优先”，有时“位置优先”。例2 用0，1，2，3，4这五个数，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ）A.24 B.30 C.40 D.60（二）排列组合混合，先选后排对于排列组合混合问题，宜先用组合选取元素，再进行排列。例：4个不同的小球放入编号为1、2、3、4的四个盒内，则恰有一个空盒的放法有几种？（三）正难则反，间接处理（间接法）对于某些排列组合问题的正面情况较复杂，而反面情况较简单时，可先考虑无限制条件的排列，再减去其反面情况的总数，此
4、时应注意既不能多减又不能少减。例3 用0，1，2，3，4这五个数，组成没有重复数字的三位数，其中1不在个位的数共有_种。练 习1、五人从左到右站成一排，其中甲不站排头，乙不站第二个位置，那么不同的站法有（ ） A.120 B.96 C.78 D.722、0,1,2,3,4,5这六个数字可组成多少个无重复数字且个位数字不是4的五位数？（四）元素相邻，整体处理（捆绑法）对于某几个元素要求相邻的排列问题，可先将相邻的元素“捆绑”在一起，看作一个“大”的元（组），与其它元素排列，然后再对相邻的元素（组）内部进行排列。例4 、 7人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人相邻，分别有多少种站法？练：5个男生3个
5、女生排成一列，要求女生排在一起，共有几种排法？（五）元素间隔，分位插入（插空法）对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其它元素排好，然后再将不相邻的元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入即可。例5 、7人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人不相邻，分别有多少种站法？练：5个男生3个女生排成一列，要求女生不相邻且不可排两头，共有几种排法？练 习 （1）三个男生，四个女生排成一排，男生、女生各站一起，有几种不同方法？2三个男生，四个女生排成一排，男生之间、女生之间不相邻，有几种不同排法？3如果有两个男生、四个女生排成一排，要 求男生之间不相邻，有几种不同排法？（六）元素定序，先排后除或选位不排或先
6、定后插对于某些元素的顺序固定的排列问题，可先全排，再除以定序元素的全排，或先在总位置中选出定序元素的位置不参加排列，然后对其他元素进行排列，也可先放好定序的元素，再一一插入其他元素。例：5人参加百米跑，若无同时到达终点的情况，则甲比乙先到有几种情况？练：有4名男生，3名女生。3名女生高矮互不等，将7名学生排成一行，要求从左到右，女生从矮到高排列，有多少种排法？练习（1）五人排队，甲在乙前面的排法有几种？（2三个男生，四个女生排成一排，其中甲、乙、丙三人的顺序不变，有几种不同排法？（七）不同元素进盒，先分堆再排列对于不同的元素放入几个不同的盒内，当有的盒内有不小于2个元素时，不可分批放入，必须先
7、分堆再放入。例：5位老师分配到3个班搞活动，每班至少一位，有几种不同的分法？（八）相同元素进盒，用隔板分隔n个相同小球放入m（）个盒子里，要求每个盒子里至少有一个球的放法。等价于n个相同的小球间隙里插入m1块隔板，有种方法。例：10张参观公园的门票分给5个班，每班至少1张，有几种分法？练习：把9个相同的小球放入某编号为1、2、3的三个箱子里，要求每个箱子放球的个数不小于其编号数，则不同的放球方法共有种（九）两类元素的排列，用组合选位法例：10级楼梯，要求7步走完，每步可跨一级，也可跨两级，问有几种不同的跨法？（十）球数不少于盒子编号数，先填满再分隔例：15个相同的球放入编号为1、2、3的盒子内
8、，盒内球数不少于编号数，有几种不同的放法？（十一）多类元素组合，分类取出例：车间有11名工人，其中4名车工，5名钳工，A、B二人能兼做车钳工。今需调4名车工和4名钳工完成某一任务，问有多少种不同调法？（十二）“小团体”排列，先“团体”后整体对于某些排列问题中的某些元素要求组成“小团体”时，可先按制约条件“组团”并视为一个元素再与其它元素排列。例6四名男歌手与两名女歌手联合举行一场演唱会，演出的出场顺序要求两名女歌手之间有两名男歌手，则出场方案有几种？（十三）分排问题用“直排法”把n个元素排成若干排的问题，若没有其他的特殊要求，可采用统一排成一排的方法来处理.例7 七人坐两排座位，第一排坐3人，
9、第二排坐4人，则有多少种不同的坐法？练 习 6（1）三个男生，四个女生排成两排，前排三人、后排四人，有几种不同排法？（2）八个人排成两排，有几种不同排法？（十四）实验法题中附加条件增多，直接解决困难时，用实验逐步寻求规律有时也是行之有效的方法。例8 将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格内，每个方格填1个，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法种数有（ ）A.6 B.9 C.11 D.23（十五）住店法解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素：一类元素可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解。例9 七名学生争夺五
10、项冠军，每项冠军只能由一人获得，获得冠军的可能的种数有（ ）A. B. C D.(十六) 对应法例10 在100名选手之间进行单循环淘汰赛（即一场比赛失败要退出比赛），最后产生一名冠军，问要举行几场？（十七）特征分析研究有约束条件的排数问题，须要紧扣题目所提供的数字特征，结构特征，进行推理，分析求解。例11 由1，2，3，4，5，6六个数字可以组成多少个无重复且是6的倍数的五位数？练 习 7（1）三个男生，四个女生排成一排，甲不能在中间，也不在两头，有几种不同方法？（2）三个男生，四个女生排成一排，甲只能在中间或两头，有几种不同排法？（十八）一对一禁位排列问题（错位法）编号为1至n的n个小球放
11、入编号为1至n的n个盒子里，每个盒子放一个小球，要求小球与盒子的编号都不同。求不同的装球方法种数。公式：当n2时，1种；当n3时，2种；当n4时，9种；当n5时，44种。例：（04湖北）将标号为1,2，10的10个球放入标号为1,2，10的10个盒子内，每个盒放一个球，则恰好有3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放法共有种？练习：1设有编号为1,2，3,4，5的五台计算机和编号为1,2，3,4，5的五台打印机，将五台打印机配在五台计算机上，恰好有一台打印机和计算机的编号相同的配法有种。2、编号为1，2，3，4，5的五人入座编号为1，2，3，4，5的五个座位，至多有两人对号的坐法有几种？（十九
12、）分组（分堆）问题（1）平均分组问题一般来说，km个不同的元素分成k组，每组m个，则不同的分法有：种例：有6本不同的书按下列方式分配，问有多少种不同的分法：（1）分成1本，2本，3本3组；（2）分组甲、乙、丙三人，其中1人一本，1人两本，1人三本；（3）平均分成三组，每组2本；（4）分给甲、乙、丙三人，每人2本。BACD（二十）涂色问题例1：用5种不同的颜色给图中A、B、C、D四个区域涂色，规定每个区域只涂一种色，相邻区域颜色不同，求有多少种不同的涂色方法例2将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法总数是多少？练习：1. 将3种作
13、物种值在如图所示的5块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物，不同的种植方法共有 种（以数字作答）2. 某市为改善生态环境，计划对城市外围A、B、C、D、E、F六个区域进行治理，第一期工程拟从这六个区域中选取三个区域实施退耕还林，根据要求至多有两个区域相邻，则不同的选取方案有 种（用数字作答）3. 直线x = 1，y = x将圆分成四块，用5种不同的颜色给四块涂色，要求共边两块颜色互异，每块只涂一色，共有多少种不同的涂色方法？4. 在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A、B两种作物，每种作物种植一垄，为了有利于作物生长，要求A、B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法共有多少种？
