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1、圆锥曲线大题训练（面积定点定值）1椭圆C:x24+y2=1的右顶点和上顶点分别为A、B,斜率为12的直线l与椭圆C交于P、Q两点(点P在第一象限).()求证：直线AP、BQ的斜率之和为定值；()求四边形APBQ面积的取值范围.2已知椭圆C: x2a2+y2b2=1 (ab0)的离心率为22,且过点(2,1).（1）求椭圆C的方程；（2）设直线：y=22x+m交C于A、B两点，0为坐标原点，求OAB面积的最大值.3已知椭圆C:x2a2+y2b2=1ab0的离心率为63，且经过点3,1（）求椭圆方程；（）过椭圆右焦点的直线l交椭圆于AB两点，O为坐标原点，求OAB面积的最大值。4设椭圆C:x2a2
2、+y2b2=1ab0，右顶点是A2,0，离心率为12.（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l与椭圆交于两点M,N(M,N不同于点A)，若AMAN=0，求证:直线l过定点，并求出定点坐标.5已知点A(0,1)，过点D(0,-1)作与x轴平行的直线l，点B为动点M在直线l1上的投影，且满足MAAB=MBBA.（1）求动点M的轨迹C的方程；（2）已知点P为曲线C上的一点，且曲线C在点P处的切线为l2，若l2与直线l1相交于点Q，试探究在y轴上是否存在点N，使得以PQ为直径的圆恒过点N？若存在，求出点N的坐标，若不存在，说明理由.6在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心
3、率为22，椭圆上动点P到一个焦点的距离的最小值为3(2-1)（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知过点M(0,-1)的动直线l与椭圆C交于 A，B 两点，试判断以AB为直径的圆是否恒过定点，并说明理由7已知抛物线C:y2=2px过点A1,1（1）求抛物线C的方程；（2）求过点P3,-1的直线与抛物线C交于M，N两个不同的点（均与点A不重合）设直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值8已知椭圆C：x2a2+y2b2=1 (ab0)的离心率为12，点F为左焦点，过点F作x轴的垂线交椭圆C于A、B两点，且AB=3.（1）求椭圆C的方程；（2）若M,N是椭圆C上异于点A,B的两点，且直
4、线AM,AN的倾斜角互补，则直线MN的斜率是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.9已知两点A(-2,0),B(2,0)，直线AM，BM相交于点M，且这两条直线的斜率之积为-34.(1)求点M的轨迹方程；(2)记点M的轨迹为曲线C，曲线C上在第一象限的点P的横坐标为1，过点P的斜率不为零且互为相反数的两条直线分别交曲线C于Q，R（异于点P），求直线QR的斜率.试卷第1页，总2页参考答案1()设直线l方程为：y=12x+b代入椭圆C:x24+y2=1并整理得：x2+2bx+2b2-2=0设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=-2bx1x2=2b2-2. 从而kAP+kB
5、Q=y1x1-2+y2-1x2=x1x2+(b-1)(x1+x2-2)(x1-2)x2=2b2-2+(b-1)(-2b-2)(x1-2)x2=0所以直线AP 、BQ的斜率之和为定值0. ()设C:x24+y2=1的左顶点和下顶点分别为C、D,则直线l、BC、AD为互相平行的直线,所以A、B两点到直线l的距离等于两平行线BC、AD间的距离d=21+14.|PQ|=1+k2|x2-x1|=1+14|x2-x1| SAPBQ=12d|PQ|=|x2-x1|=8-4b2,又p点在第一象限,-1b0,m20,kR，AMAN=0，则x1-2,y1x2-2,y2=0，即x1x2-2x1+x2+4+y1y2=
6、0，7b2+4k2+16kb=0，b=-27k或b=-2k，直线lMN:y=kx-27或y=kx-2，直线过定点27,0或2,0舍去；综上知直线过定点27,0.5试题解析：(1)设M(x,y)，由题得B(x,-1)又A(0,1)，MA=(-x,1-y)，MB=(0,-1-y),AB=(x,-2)，由MAAB=MABA，得(MA+MB)AB=0，即(-x,-2y)(x,-2)=0x2=4y，轨迹C的方程为x2=4y.（2）设点N(0,n)，P(x0,x024)，由y=14x2，得y=12x，kl2=y|x=x0=12x0，直线l2的方程为y=x024=x02(x-x0)令y=-1，可得x=x02
7、2-2x0=x02-2x0，Q点的坐标为(x02-2x0,-1)，NPNQ=x022-2-(1+n)(x024-n)=(1-n)x024+n2+n-2=0，（*）要使方程（*）对x0R恒成立，则必有1-n=0n2+n-2=0解得n=1.即在y轴上存在点N，使得以PQ为直径的圆恒过点N，其坐标为(0,1).6 试题解析：（1）由题意ca=22，故a=2c， 又椭圆上动点P到一个焦点的距离的最小值为3(2-1)，所以a-c=32-3，解得c=3，a=32，所以b2=a2-c2=9， 所以椭圆C的标准方程为x218+y29=1. （2）当直线l的斜率为0时，令y=-1，则x=4，此时以AB为直径的圆
8、的方程为x2+(y+1)=16 当直线l的斜率不存在时，以AB为直径的圆的方程为x2+y2=9， 联立x2+(y+1)=16,x2+y2=9,解得x=0,y=3，即两圆过点T(0,3)猜想以AB为直径的圆恒过定点T(0,3) 对一般情况证明如下：设过点M(0,-1)的直线l的方程为y=kx-1与椭圆C交于A(x1,y1),B(x2,y2),则y=kx-1,x2+2y2=18,整理得(1+2k2)x2-4kx-16=0，所以x1+x2=4k1+2k2,x1x2=-161+2k2 因为TATB=(x1,y1-3)(x2,y2-3)=x1x2+y1y2-3(y1+y2)+9=x1x2+(kx1-1)
9、(kx2-1)-3(kx1-1+kx2-1)+9 =(k2+1)x1x2-4k(x1+x2)+16=-16(k2+1)1+2k2-16k21+2k2+16=-16(1+2k2)1+2k2+16=0，所以TATB所以存在以AB为直径的圆恒过定点T，且定点T的坐标为(0,3)7 （1）由题意得2p=1，所以抛物线方程为y2=x （2）设Mx1,y1，Nx2,y2，直线MN的方程为x=ty+1+3，代入抛物线方程得y2-ty-t-3=0 所以=t+22+80，y1+y2=t，y1y2=-t-3 所以k1k2=y1-1x1-1y2-1x2-1=y1-1y12-1y2-1y22-1=1y1+1y2+1=
10、1y1y2+y1+y2+1=1-t-3+t+1=-12,所以k1，k2是定值8 （1）e=1-b2a2=12 3a2=4b2AB=2b2a=3 a=2,b=3椭圆的方程为：x24+y23=1（2）A(-1,32)，根据题意可设直线AM的斜率为k则lAM：y-32=k(x+1)由y-32=k(x+1)x24+y23=1，得：(3+4k2)x2+(8k2+12k)x+4k2+12k-3=0设M(xM,yM)，N(xN,yN)，则-1+xM=-8k2-12k3+4k2 xM=-4k2-12k+33+4k2于是yM=-6k2+6k+923+4k2由于直线AM与AN的斜率互为相反数，只要将上述k换成-k
11、，就可得：xN=-4k2+12k+33+4k2，yN=-6k2-6k+923+4k2 kMN=yM-yNxM-xN =12k3+4k2-24k3+4k2=-12，为定值.9 设点M(x,y)，因为kAMkBM=-34，所以yx+2yx-2=-34，整理得点所在的曲线C的方程为：x24+y23=1(x2).（2）由题意可得点P(1,32)，直线PQ与直线PR的斜率互为相反数，设直线PQ的方程为y=k(x-1)+32，与椭圆的方程联立消去y，得(4k2+3)x2+(12k-8k2)x+(4k2-12k-3)=0，由于x=1是方程的一个解，所以方程的另一个解为xQ=4k2-12k-34k2+3，同理xR=4k2+12k-34k2+3，故直线RQ的斜率为kRQ=yR-yQxR-xQ=-k(xR-1)+32-k(xQ-1)-32xR-xQ=-k(8k2-64k2-3-2)24k4k2+3=12.答案第5页，总5页
