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1、2015年新课标卷一 20题(辽宁盘锦 刘扬)在直角坐标系中，曲线与直线交于，两点.（）当时，分别求在点和处的切线方程；（）轴上是否存在点，使得当变动时，总有？说明理由.试题解析：（）由题设可得，或，.，故在=处的到数值为，C在处的切线方程为 ，即.故在=-处的到数值为-，C在处的切线方程为，即. 故所求切线方程为或.第一问比较基础，考察导数的几何意义，这里就不再阐述其他方法，主要研究第二问的解法（）解法1 存在符合题意的点，证明如下： 设P（0，b）为复合题意得点，直线PM，PN的斜率分别为. 将代入C得方程整理得. .由题意得.=,所以.所以符合题意.解法二 设点M N（ P（0，b），由
2、题意可知： ，所以，即，所以，由解法一 ，所以，所以符合题意.解法一和解法二是常规思路，主要从斜率互为相反数，列出条件求解，只是解法二用抛物线的参数方程设点可以减少计算量，避免联立方程组，提高解题效率，可以尝试.解法三 如图：由对称性可知点M关于y轴的对称点Q直线NP和抛物线的交点 .设P（0，b），P Q N三点共线，,以下同解法一.解法四：过点NQ的直线方程可以设为，令，解得=-.即直线和y轴交于点P(0,b).解法三，四从对称性出发，利用整体代换的思想，简化运算，解法四利用直线过定点问题求出点P.本题可以推广一般结论：抛物线C: ，点A(-m,0)，设不垂直于x轴的直线和C交于PQ两点，如果x轴是PAQ的平分线，则直线PQ过定点（m,0）.
