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1、20092015年高考数学圆锥曲线考试真题解答题汇集（全国卷及部分省）1、（2014全国卷1理）已知点A（0，2），椭圆E：+=1（ab0）的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点（）求E的方程；（）设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当OPQ的面积最大时，求l的方程考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（）设F（c，0），利用直线的斜率公式可得，可得c又，b2=a2c2，即可解得a，b；（）设P（x1，y1），Q（x2，y2）由题意可设直线l的方程为：y=kx2与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，再利用弦长公式、点到直线的距
2、离公式、三角形的面积计算公式即可得出SOPQ通过换元再利用基本不等式的性质即可得出解答：解：（）设F（c，0），直线AF的斜率为，解得c=又，b2=a2c2，解得a=2，b=1椭圆E的方程为；（）设P（x1，y1），Q（x2，y2）由题意可设直线l的方程为：y=kx2联立，化为（1+4k2）x216kx+12=0，当=16（4k23）0时，即时，|PQ|= = =，点O到直线l的距离d=SOPQ=，设0，则4k2=t2+3，=1，当且仅当t=2，即，解得时取等号满足0，OPQ的面积最大时直线l的方程为：点评：本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式、椭圆的方程联立可得根与系数的关系、
3、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，考查了换元法和转化方法，属于难题2、（2014课标全国，文)设F1 ，F2分别是椭圆C：（ab0）的左，右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N。（I）若直线MN的斜率为，求C的离心率；（II）若直线MN在y轴上的截距为2且|MN|=5|F1N|，求a，b。解：（）根据c=以及题设知M（c，），2=3ac将=-代入2=3ac，解得=，=-2（舍去）故C的离心率为（）由题意，原点O的的中点，My轴， 所以直线M与y轴的交点D是线段M的中点，故=4，
4、 即 由=得=设N（x，y），由题意可知yb0)的左、右焦点，过F1斜率为1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列 (1)求E的离心率； (2)设点P(0，1)满足|PA|PB|，求E的方程解：(1)由椭圆定义知|AF2|BF2|AB|4a，又2|AB|AF2|BF2|，得|AB|a.l的方程为yxc, 其中c.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标满足方程组化简得(a2b2)x22a2cxa2(c2b2)0，则x1x2，x1x2.因为直线AB斜率为1，所以|AB|x2x1| .得a，故a22b2，所以E的离心率e.(2)设AB的中点为N(x
5、0，y0)，由(1)知x0c，y0x0c.由|PA|PB|得kPN1.即1，得c3，从而a3，b3.故椭圆E的方程为1.9、（2010 广东 理）已知，椭圆过点，两个焦点为。（1） 求椭圆C的方程； （2） 是椭圆上的两个动点，如果直线的斜率与的斜率互为相反数，证明直线的斜率为定值，并求出这个定值。解：（）由题意，c=1,可设椭圆方程为， 解得，（舍去）所以椭圆方程为。 （）设直线AE方程为：，代入得 设,因为点在椭圆上，所以 又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以代，可得所以直线EF的斜率即直线EF的斜率为定值，其值为。 10、 （2011广东 理）已知焦点在X轴的椭圆，焦点为、
6、，焦距为，（1） 求椭圆方程（2）若是椭圆上一点，且，求的面积。11、（2010 广东 文）设、分别为椭圆：（）的左、右两个焦点（）若椭圆上的点到、两点的距离之和等于4，求出椭圆的方程和焦点坐标；（）设是（）中所得椭圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程解：（）由椭圆上的点到两焦点、两点的距离之和等于4，知， 2分又点在椭圆上，因此， 4分于是， 5分所以，所求椭圆方程为，焦点坐标为和； 7分（）设中点，并设动点，则 10分又因为点在椭圆上，于是，即，化简得， 所以，所求轨迹方程为 14分12、（2010 广东 文）已知的顶点，在椭圆上，在直线上，且（）当边通过坐标原点时，求的长及的面积；（）当，
7、且斜边的长最大时，求所在直线的方程解：（）因为，且边通过点，所以所在直线的方程为 1分来源:Zxxk.Com设，两点坐标分别为由得 3分所以 4分又因为边上的高等于原点到直线的距离于是， 5分所以 6分（）设所在直线的方程为，由得 8分因为，在椭圆上，所以 9分设，两点坐标分别为，则，所以 10分又因为的长等于点到直线的距离，即 11分所以所以当时，边最长，（这时）此时所在直线的方程为 12分13、（2013 广东 ）已知椭圆C，过点M(0, 1)的直线l与椭圆C相交于两点A、B.（）若l与x轴相交于点P，且P为AM的中点，求直线l的方程； （）设点，求的最大值. ）解：设A(x1, y1)，
8、 因为P为AM的中点，且P的纵坐标为0，M的纵坐标为1，所以，解得， -1分又因为点A(x1, y1)在椭圆C上，所以，即，解得，则点A的坐标为或，所以直线l的方程为，或. （）设A(x1, y1)，B(x2, y2)，则所以， 则， 当直线AB的斜率不存在时，其方程为，此时；当直线AB的斜率存在时，设其方程为， 由题设可得A、B的坐标是方程组的解， 消去y得， 所以， 则， 所以， 当时，等号成立, 即此时取得最大值1. 综上，当直线AB的方程为或时，有最大值1. 14（2013 广东 理）已知点是中心在原点，长轴在x轴上的椭圆的一个顶点，离心率为 ，椭圆的左右焦点分别为F1和F2 。 （）求椭圆方程； （）点M在椭圆上，求M
