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1、小结与复习,第十三章 轴对称,人教版八年级上册,要点梳理,一、轴对称相关定义和性质,1)如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫作_，这条直线就是它的_,2)如果一个图形沿一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称,这条直线就是它的对称轴,轴对称图形,对称轴,1.定义,3)轴对称图形的_，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线,2.性质,1)关于某直线对称的两个图形是全等图形,2)如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的_,垂直平分线,对称轴,三、平面直角坐标系中轴对称,x,-y,点（x, y）关于x轴对称的
2、点的坐标为,点（x, y）关于y轴对称的点的坐标为,x,y,四、等腰三角形的性质及判定,1.性质,1)两腰相等,二、垂直平分线的性质和判定,性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离_,相等,判定：与线段两个_距离相等的点在这条线段的垂直平分线上,端点,4)_、底边上的中线和底边上的高互相重合，简称“三线合一,顶角平分线,2.判定,1)有两边相等的三角形是等腰三角形,2)如果一个三角形中有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等（简写成“_”,等角对等边,3)两个_相等，简称“等边对等角,底角,2)轴对称图形,等腰三角形的顶角平分线所在的直线是它的对称轴,五、等边三角形的性质及判定,1.
3、性质,等边三角形的三边都相等,等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于_,是轴对称图形，对称轴是三条高所在的直线,任意角平分线、角对边上的中线、对边上的高互相重合，简称“三线合一,60,2.判定,三条边都相等的三角形是等边三角形,三个角都相等的三角形是等边三角形,有一个角是60的_是等边三角形,等腰三角形,六、有关作图,1.过已知直线外的一点作该直线的垂线,2.作线段的垂直平分线,3.最短路径：(1)牧人饮马问题；(2)造桥选址马问题,考点讲练,例1 下列“禁止行人通行、注意危险、禁止非机动车通行、限速60”四个交通标志图中，为轴对称图形的是（,B,D,2.如图，3=30，为了使白球反弹
4、后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证1的度数为_,60,例2 按要求完成作图： (1)作ABC关于y轴对称的A1B1C1； (2)在x轴上找出点P，使PA+PC最小，并直接写出P点的坐标,解析：(1)先找出点A、B、C关于y轴的对称点，再依次连线即可. (2)找出点A关于x轴的对称点A，连接AC，AC与x轴的交点即是点P的位置,A1,B1,C1,A1,P,C,坐标轴中作轴对称图形，一般先根据点关于坐标轴对称的点的特征，找出对称点，而后连线即可.点(x,y)关于x轴对称的点的坐标为(x,-y) ，关于y轴对称的点的坐标为(-x,y,例3 在ABC中，AD是高，在线段DC上取一点E，使
5、BD=DE，已知AB+BD=DC. 求证：E点在线段AC的垂直平分线上,解析：要证明点E在线段AC的垂直平分线上，即要证明AE=EC.根据题意及线段垂直平分线的定义，得出AB=AE.而后根据AB+BD= DC，进行等量变换，可到AE=EC,证明：AD是高，ADBC， 又BD=DE， AD所在的直线是线段BE的垂直平分线， AB=AE， AB+BD=AE+DE， 又AB+BD=DC， DC=AE+DE， DE+EC=AE+DE EC=AE， 点E在线段AC的垂直平分线上,线段的垂直平分线一般会与中点、90角、等腰三角形一同出现，在求角度、三角形的周长，或证明线段之间的等量关系时，要注意角或线段之
6、间的转化,16cm,例4 如图所示，在ABC中，AB=AC,BDAC于D. 求证： BAC=2DBC,解析：根据等腰三角形“三线合一”的性质，可作顶角BAC的平分线，来获取角的数量关系,解：作BAC的平分线AE,交BC于点E,如图所示，则,AB=AC, AEBC,2+ ACB=90,BDAC, DBC+ ACB=90,2= DBC,BAC= 2DBC,在涉及等腰三角形的有关计算和证明中，常用的作辅助线的方法是作顶角的角平分线，而后利用等腰三角形三线合一的性质，可以实现线段或角之间的相互转化,例5 等腰三角形的一个内角是另一个内角的2倍，求该等腰三角形的顶角的度数,解：设该等腰三角形中，小角的度
7、数为x,则大角的度数为2x,当x为底角时， x +x+ 2x=180 解得 x=45，则2x=90,当x为顶角时， x +2x+ 2x=180 解得x =36,故该等腰三角形顶角的度数为90或36,在等腰三角形中，常用到分类讨论思想，一般有如下情况：(1)在求角度时，未指明底角和顶角；(2)在求三角形周长时，未指明底边和腰；(3)未给定图形时，有时需分锐角三角形和钝角三角形两种情况进行讨论,5.如图， ABC中，A=36 ，AB=AC, BD平分ABC交AC于点D,则图中的等腰三角形共有 个,3,6.如图，已知等边ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，把BDE沿直线DE翻折，使点B落在B1处
8、，DB1,EB1分别交边AC于M、H点，若ADM=50 ,则EHC的度数为,70,7.如图,在ABC中,AD是角平分线,AC=AB+BD. 求证B=2C,证明：在AC上截取AE=AB，连结DE,E,AD是角平分线，EAD=BAD,又AD=AD，EADBAD， DE=DB，AED=B,AC=AB+BD=AE+DE=AE+EC，CE=ED,AED=C+CDE=2C，即B=2C,想一想：还有别的证明方法吗,提示：延长AB至F，使BF=BD，连结DF,8.如图所示，ABC中，AB=AC，BAC=120，AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F 求证：BF=2CF,证明：连接AF， AB=AC，B
9、AC=120， B=C=30， AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F， CF=AF， FAC=C=30， BAF=BAC-FAC=120-30=90， 在RtABF中，B=30， BF=2AF， BF=2CF,课堂小结,轴对称,等腰三角形,轴对称图形,垂直平分线,等腰三角形,等边三角形,轴对称的性质,关于坐标轴对称的点的坐标,轴对称作图,性质和判定,性质,判定,性质,判定,含30角的直角三角形的性质,轴对称,学生课堂行为规范的内容是： 按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。 遵守课堂礼仪，与老师问候。 上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。 尊敬老师，服从任课老师管理。 不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。 听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。 上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。 上课必须按座位表就坐。 要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。 要注意保持教室环境卫生。 离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源,谢,谢,大,家
