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1、2021年第二届拓普杯天津市物理竞赛2021年第二届拓普杯天津市普通高等院校大学物理竞赛试题一、如图是长为L 质量为m 的均质细杆处于水平静止状态。它的一端在光滑的轴上，细杆可绕轴自由转动，另一端用轻绳（不计质量）悬挂于天花板，轻绳垂直于水平面。问：（1）在剪断轻绳这一瞬间，细杆质心加速度a 、细杆绕其质心转动角加速度、轴的支撑力N 各是多少？（2）当细杆转动到竖直位置转动角速度、质心速度v ？ 解法：（1）设轴的支撑力为N ，则： 平动方程：ma N mg =- （1） 1分转动方程：I Lmg =2（2） 1分 由231mL I =， 2La = 代入（2）得 1分g a 43= 1分代入
2、（1）式得： mgma mg N41=-=细杆绕轴转动的角加速度：L g L a 232= 1分 刚体的运动可看作：质心的平动和绕质心的转动的复合运动。 细杆转动平动 如图所示，故绕质心的转动角加速度 Lg 23= 1分 (2) 竖直位角速度为，由机械守恒2223121212? ?=mL I L mgL g 3= 3分质心速度： gL L v c3212= 1分解法2L g dt d 23= d d dt d d d dt d L g =?=23 2分?=02023d d L g L g 3= 1分质心速度： gL L v c3212= 1分二、如图所示，高为a 、底半径为b 的非绝热正圆锥容
3、器，内装一种化学纯气体。容器置于气压为P 0温度为T 0的大气中。开始时，锥顶开口与大气相通，内部气体压强为P 0，但温度分布为T = T 0 + x ，此时将开口闭合，最终达到平衡时容器内气压P 是多少？ 解：利用初始条件求容器内气体总分子数N 由理想气体压强公式：0P nkT =（2分） （若写成 PV C T =或00PV PV T T =也给2分） 分子数密度：000()()P P n x kT k T x =+ （2分） x x+dx 内的分子数为：2200()()P b dN n x y dx x dx k T x a ?= ?+?（2分） 积分求总分子数：2000()aP b N
4、 x dx k T x a ?=?+? 22000200aPb T x T dx ka T x ?=-+ ?+? 222 00020ln 2Pb T a a aT T ka T ?+=-+ ?（2分） 将开口闭合，最终达到平衡时，温度与大气相同为T 0，压强为P ，而分子数密度均匀。由压强公式得：0P nkT = 0NkT V = 22200000202ln213Pb T a a aT T kT ka T b a ?+-+ ?= 2202100303ln 2PT T a aaT T a T ?+=-+ ?（2分） 三、“嫦娥奔月”激起人们欲上月球居住的愿望，月球上昼夜最高温度C 1160，夜间
5、的最温度C 1510-。人们要在月球上居住，若起居室温度保持C 210，起居室墙壁透热的功率为每度温差0.2千瓦（随墙壁材料而变）。试求昼间与夜间在温度最大和最小值情况下，卡诺热机的功率各为多少？解：温度：昼间为389K ，夜间122K ，居室294K 。（1） 昼间室内外温差95K ，K T K T 294,38921=居室室外 （1分）室外向居室透热功率：千瓦0.19952.02=?=P （1分）卡诺机的制冷系数：21222)(T T T P P t W t Q -= （2分） 求得卡诺机的工作功率：千瓦1.60.19294952221=?=-=P T T T P （1分） （2） 夜间室
6、内外温差172K ，K T K T 122,29421=室外居室 （1分）居室流出热功率：千瓦4.342.01721=?=P （1分） 卡诺机的制冷系数：21222)(T T T P P t W t Q -= （2分） 求得卡诺机的工作功率：千瓦2.484.341221722221=?=-=P T T T P （1分）四、通有电流I 的长直导线（视为无限长）弯曲成如图所示。弯曲部分为圆，半径为R ，问圆心处的磁感应强度B的大小和方向如何？解法：圆心出的磁场可以看作长直导线和圆电流产生的磁场的叠加 长直导线的磁场RIB 201=，方向垂直纸面向外； 3分 圆电流的磁场RIB 202=，方向垂直纸
7、面向里； 3分故圆心处的磁场? ?-=-=112021R I B B B 2分 方向垂直纸面向里； 2分五、用伏安法测电阻，给出如下物品：待测电阻R 一个，直流电源一个，内阻为A r 的安培表一个，内阻为V r 的伏特表一个，及必要的连接线。要求： （1）画出内接法和外接法的电路图；（2）以电流表读数I 、内阻A r 、伏特表读数V 、内阻V r 这四个作为已知条件，写出内接法和外接法测量电阻值R 与实际电阻R 的绝对误差、相对误差的数学表达式；（3）当待测电阻R 较大或较小时，分别采用哪种电路图（内接法和外接法）更合适？解：（1）内接法电路图（2分） 外接法电路图（2分）（2）内接法：A I
8、r IR V+= A A r IV I Ir V R -=-=I VR =绝对误差：A r R R R =-=? （1分）（R R ）相对误差：%100%100?-=?=AARIr V Ir R R E （1分） 外接法：Vr V R V I +=V Ir Vr r V I V R V V V-=-=I V R =绝对误差：IVV Ir Vr R R R V v -=-=? （1分）（R 相对误差：%100%100?=?=VRIr V R R E （1分） （3）当待测电阻R 较大时，采用内接法 （1分） 当待测电阻R 较小时，采用外接法 （1分） 六、波长为nm 440的单色光垂直入射到平面
9、透射光栅上，第三级谱线的衍射角3，满足3.0sin 3=，第四级缺级。求：（1）此光栅的光栅常数d 及光栅狭缝的最小可能宽度a ； （2）列出屏幕上可能呈现的谱线的全部级数；（3）此光栅上总共有250=N 条刻痕，要把波长为nm 00.589和nm 59.589两条谱线分辨开来，最理想应选择在哪一级工作？ 解法：（1）由光栅方程k d =sin 求得光栅常数d ()nm 44001044003.0104403sin 99=?=?=-k d 2分第四级缺级，第二级不缺级才能得a 有最小值4=a d ()nm 11001011001044400499=?=?=-d a 2分（2）光谱最外侧 090
10、 1sin ，该处的级次：k d =090sin 101044010440099=?=-d k 即在最外侧处为第十级 2分又由于4、8为缺级，可呈现0，1，2，3，5，6，7，9，10，共十七条谱线。 2分（3）光栅的分辨本领：10001059.01058999=?=?=-R 又因为 kN R =42501000=N R k 即从第四级开始均可分为这两条谱线。即从第四级缺级，最理想应选第五级工作。 2分七. 试证明玻尔氢原子第n 圆轨道 (半径为r n ) 的周长是该轨道上运动电子的德布罗意波波长的n 倍。证明: 根据玻尔假设, 电子轨道角动量:2hnn mvr n = 4分 第n 轨道转动的
11、电子动量:nr nhmv p 2= 1分 根据德布罗意波公式, 电子波波长:n r r nh hp h n n22=4分 故得: n r n =2 1分 八、太阳光投射到与其入射方向垂直的地球表面上的平均强度为I （通常称为太阳常数），其值为21340-?m W 。（提示：利用光量子、质能关系等知识）求： （1）太阳光在单位面积的镜面反射时产生的辐射压力是多少？ （2）日地间距离为m 1110495.1?，太阳单位时间流失的质量是多少？ 解法：（1）光子能量为E ，由Pc E =，求得光子动量cEP =（2分） t ?时间内，单位面积上有n ?个光子经镜面反射，由冲量定理：p n t f ?=
12、?2 （2分） 求得辐射压力：)(1093.81083134022226m N c I c E t n f -?=?=?= （1分）（2）由质能关系式： 2mc E = （2分）太阳单位时间内流的能量：2c dtdm dt dE = （1分）I R dtdE?=24 （1分） 求得太阳单位时间内流失的质量：)(1018.4)103(1340)10495.1(14.34411928211222s Kg I R cdt dE c dt dm ?=?=?= （1分）九、有一半径为R 、盘面平行于水平面的圆盘，盘面上有两个从圆心出发直到边缘的光滑小槽，一个是沿半径方向的直槽，另一个是以半径R 为直径的
13、半圆弧槽。当圆盘绕其垂直中心轴以匀角速转动时，处于圆心的小物体（视为质点）以初速度为零地沿小槽滑动。求：（1）沿半径方向的直槽达到圆盘的边缘时，小物体相对于圆盘、相对于地面的速度各为多少？（2）沿半圆弧槽达到圆盘的边缘时，小物体相对于圆盘、相对于地面的速度各为多少？ 解：转动参考系为非惯性系，在非惯性系中只要加上惯性力，力学定律连续有效。质点相对转动参考系运动，不仅有离心力，还有科里奥力，但此力总与运动方向垂直，若用动能定理只考虑惯性离心力就可以了。（1） 在边缘处相对边缘速度为v ，依动能定理：0mv 21dr mr dr 2R020-=?Rf 惯 3分R v =即 1分因为圆盘边缘相对地的
14、速度也为R ，但方向与v 垂直： 故相对地的速度为：R 2v = 1分 （2） mv 21dr mr dr dl cos f l d f 2R 020R 0R -=?=?=?R f 惯惯惯 3分R v =即 1分因为圆盘边缘相对地的速度也为R ，但方向与v 相同：故相对地的速度为：R 2v = 1分十设有一均匀磁场B 分布在半径为R 的圆柱形区域内，并以速率dtdB变化。有五段长度均为R 的金属细棒串联按如图所示的形式放置。求各段的感应电动势（注意标明电动势的方向）。解：变化的磁场在其周围会激发起涡旋电场。感生电动势为?-=-=?=S tB dt d l d E L i 2分 当R r ?-=?S t B l d E i dtdB r E dt dB r r E i i
