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1、八年级下册,勾股定理 章末复习,知识结构,勾股定理,两个定理,勾股定理,勾股定理的逆定理,两个关系,互逆命题,互逆定理,知识回顾,1.勾股定理 （1）勾股定理： （2）勾股定理的应用 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是： 已知直角三角形的两边，求第三边； 利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题； 求作长度为 的线段,直角三角形两直角边a、b 的平方和等于斜边c 的平方. 即：a+b=c,2.勾股定理的逆定理 （1）原命题与逆命题 如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的_，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它
2、的逆命题. （2）勾股定理的逆定理 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c，满足_，那么这个三角形是直角三角形,结论和题设,a+b=c,3）勾股数 满足方程a+b=c的三个_a、b、c，称为勾股数。 常见的勾股数： 3、4、5； 5、12、13；8、15、17；7、24、25；9、40、41. 如果a、b、c，是勾股数，当t为正整数时，at、bt、ct，也是勾股数。 3.勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系 区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理； 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关,正整数,考点对接,应用勾股定理求线段
3、长 1.已知ABC中，AB=17，AC=10，BC边上的高AD，则边BC的长为（ ） A. 21 B. 15 C. 6 D. 21或9 2. 同学甲要从A点出发到距离A点1000米的C地去,他先沿北偏东70方向到达B地,然后再沿北偏西20方向走了600米到达目的地C,由此可知AB之间的距离为( ) A. 700米 B.750米 C.800米 D.850米,D,C,应用勾股定理求线段长 3. 如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC=6,BC=8，现将ABC 折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，求CD的长。 解：由折叠性质知AD=BD 在RtACD中，由勾股定理得 AC +CD =AD。 设CD
4、=x，则AD=BD=8-x， 代入上式，得6 +x =（8-x） 解得x=1.75， 即CD的长为1.75,逆命题和逆定理 4. 下列命题的逆命题不正确的是（ ） A角平分线上的点到两边距离相等 B两直线平行，内错角相等 C等腰三角形的两个底角相等 D全等三角形的对应角相等 利用勾股定理表示无理数 5.如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于M， 则点M为（ ）。 A. 2 B. C. D,D,C,直角三角形的判定 6. 若ABC 的三边长为a,b,c满足a +b +c +50=6a+8b+10c,则ABC 是( ) A.
5、等腰三角形 B.直角三角形 C. 锐角三角形 D.钝角三角形 7. ABC 中,AB=5,BC=6,BC边上的中线AD=4判定ABC的形状。 解： AD是BC边上的中线, ABD 中,AB=5，BD=3，AD=4， 所以ABD是直角三角形(勾股定理), AD是ABC的垂直平分线, ABD ACD , AC=5， ABAC 故ABC是等腰三角形,B,勾股定理及逆定理的应用 8. 等腰三角形的周长为36，其底边上的高为6，则其面积为（ ） A.216 B.96 C.48 D.32 9. 1个三角形三边长之比是3:4:5，且面积是54，求三角形的周长。 解 ：设三角形的三边分别为3X,4X,5X，(
6、X0) （3x） +（4x） =（5x） 该三角形是一个直角三角形 S= 1 2 3x4x=54 6x =54 解得x=3或x=-3（舍去） 所以该三角形的周长为C=3x+4x+5x=12x=123=36,C,10. 如图所示，直角梯形ABCD中，ADBC，B90，AD ，AB ，BC ，E是AB上一点，且AE ，求点E到CD的距离EF 解：过点D作DHBC于H，连接DE、CE，则ADBH，ABDH， CHBCBH ，DHAB ， 在RtCDH中，在RtCDH中，CD=DH+CH = CD25， SCDE =S梯形SADESBCE= 1 2 （ADBC）AB- 1 2 ADAE 1 2 BCB
7、E 又SCDE= 1 2 DCEF， 1 2 25EF=125， EF10,随堂检测,下列四组线段中,能组成直角三角形的是( ) A .a,b,c B .a,b,c C .a,b,c D .a,b,c 2底边长为cm,底边上高为cm 的等腰三角形的腰长为( ) A .cm B .cm C .cm D .cm 3. 下列条件中,不能确定三角形是直角三角形的是( ) A . 三角形中有两个角互为余角 B . 三角形中三个内角之比为 C . 三角形的三边之比为 D . 三角形中有两个内角的差等于第三个内角,D,B,C,4. 如图,在ABC 中,C,AC,点D 在BC 上, ADCB,AD ,则BC
8、的长为( ) A . B . C . D . 5. 如图,在平面直角坐标系中,点P 的坐标为(,),以点O 为圆心,以OP 的长为半径画弧,交x 轴的负半轴于点A ,则点A 的横坐标介于( ) A .和之间 B .和之间 C .和之间 D. 和之间,D,A,6. “赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形如图所示,每一个直角三角形的两条直角边的长分别 是和,则中间小正方形与大正方形的面积之比是( ) A . B . C . D . 7. 设a,b 是直角三角形的两条直角边,若该三角形的周长为,斜边长为,则ab 的值是( ) A B C D,C,D,8. 如图,在RtA
9、BC 中,A,DE 垂直平分斜边AC,交 AB 于D ,E 为垂足,连接CD,若BD,则AC 的长是( ) A . B . C . D . 9. 直角三角形的三边是ab,a,ab,并且a,b 都是正整数,则三角形其中一边的长可能是( ) A . B . C . D,A,C,10.如图,一渔船在海岛A 南偏东方向的B 处遇险,测得海岛A 与B 的距离为nmile,渔船将险情报告给位于A 处的救援船后,沿北偏西方向向海岛C 靠近同时,从A 处出发的求援船沿南偏西方向匀速航行min后,救援船在海C 处恰好追上渔船,那么救援船航行的速度为( ) A . nmile/h B .nmile/h C . n
10、mile/h D . nmile/h,D,11.如图,某地震灾区设有A、B、C 三个灾区安置点,其中A、B 两个在铁路边上,C 离铁路较远已知A到B 比A 到C 远km,A 到B 比C 到B 近km,三个安置点之间的总路程为km,试确定三个安置 点A、B、C 所构成的三角形的形状 解：直角三角形 根据题意得：ABAC14，BCAB2AC142AC16， 又因为ABACBCAC14AC16AC60，则AC10 即AB ，BC ，即BC AC AB， BAC得三个安置点A、B、C 构成直角三角形,12.如图,圆柱形玻璃容器高cm,底面周长为cm,在外侧距下底cm 的点A 处有一只蜘蛛,与蜘蛛正对的
11、圆柱形容器的外侧距开口处cm 的点B 处有一只苍蝇,试求急于捕捉苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线的长度 解：如图，将圆柱侧面展开成长方形， 则线段AB 的长度即为最短距离 AC， BC 等于底面周长的一半即， 由勾股定理得ABACBC，AB， 故蜘蛛所走的最短路线长为cm,13.如图,已知在ABC 中,A,D 是BC 中点,且DEBC 于D ,交AB 于E求证:BEEAAC 证明：连结CE， ED 垂直平分BC， EBEC， 又A， EAACEC， BEEAAC,14. 如图是由边长均为的小正方形组成的网格 ()求四边形ABCD 的面积; ()你能判断AD 与CD 的位置关系吗? 说说你的理由 解
12、：（）四边形ABCD 的面积可看作是边长为的正方形的面积与四个角上的四个直角三角形的面积之差，于是四边形ABCD 的面积为： 1 2 (). （）连接AC，在ADC 中， 由于AD，CD，AC， 所以ADCDAC， 即ADC 是直角三角形，且D 所以AD 与CD 的位置关系是垂直的,15. 在矩形纸片ABCD 中,AB,AD如图所示,折叠纸片,使点A 落在BC 边上的A处,折痕为PQ,当点A在BC 边上移动时,折痕的端点P、Q 也随之移动若限定点P、Q 分别在AB、AD 边上移动,求点A在BC 边上可移动的最大距离 解：当点P 与点B 重合时,AB 取最大值为, 当点Q 与点D 重合时,由勾股定理可算出AB 的最小值为, 所以点A在BC 边上可移动的最大距离为,高频考点 1.应用勾股定理进行计算； 2.应用勾股定理逆定理确定直角三角形； 3.在数轴上表示无理数的点,课堂小结,再见
